難しく考える必要はないよ いわば，毎回“まっさらな状態”，“リセットされた状態”で試行を始められたら「独立」，そうでなければ「独立ではない」というだけ

この 2つの試行は独立である（お互いに試行が他の試行に影響しない）から 2つの確率の積だよね また，確率が 1を超えることはない！

これらの 2つの試行は独立である（お互いに試行が他の試行に影響しない） 硬貨の表が出る確率は 1/2 さいころの目が 5以上である確率は 2/6 (=1/3) よって，求める確率は 1/2 × 2/6 = 1/6

さいころを投げる 3回の試行は独立である（お互いに試行が他の試行に影響しない） 3回とも 1以外の目が出る確率は 5/6 × 5/6 × 5/6 = 125/216

さいころを投げる 3回の試行は独立である（お互いに試行が他の試行に影響しない） 「少なくとも 1回は 1の目が出る」の余事象は「3回とも 1以外の目が出る」だから 1 - 5/6 × 5/6 × 5/6 = 1- 125/216 = 91/216

Aの袋から玉を 1個取り出す試行と，Bの袋から玉を 1個取り出す試行は独立である Aの袋から赤玉を取り出す確率は 3/5 Bの袋から赤玉を取り出す確率は 2/6 (= 1/3) よって，求める確率は 3/5 × 2/6 = 1/5

Aの袋から玉を 1個取り出す試行と，Bの袋から玉を 1個取り出す試行は独立である 「同じ色」を取り出すのは「赤の場合」と「白の場合」がある ともに赤玉を取り出すのは（1）により 1/5 ともに白玉を取り出す確率は 2/5 × 4/6 = 4/15 これらの事象は互いに排反である（決して同時には起こらない）から，求める確率は 1/5 + 4/15 = 7/15

Aの袋から玉を 1個取り出す試行と，Bの袋から玉を 1個取り出す試行は独立である 「異なる色」を取り出すのは「Aから赤玉，Bから白玉の場合」（←（3）で求めた）と「Aから白玉，Bから赤玉の場合」がある 「Aから赤玉，Bから白玉の場合」は（3）により 2/5 「Aから白玉，Bから赤玉の場合」は 2/5 × 2/6 = 2/15 これらの事象は互いに排反である（決して同時には起こらない）から，求める確率は 2/5 + 2/15 = 8/15 別解： 求める確率は「同じ色になる」事象の余事象だから（2）により 1 - 7/15 = 8/15

1回目の試行と 2回目の試行は独立である 赤玉を取り出す確率は 3/5 白玉を取り出す確率は 2/5 （1）3/5 × 2/5 = 6/25 （2）2/5 × 3/5 = 6/25 （3）3/5 × 3/5 = 9/25

この 3回の試行は独立である 赤が2回になるのは， 赤赤他，赤他赤，他赤赤 の3通りあるから 2/9×2/9×7/9×3=28/243 これは反復試行だね 1回目と2回目に赤が出て3回目に他の色が出る確率は 2/9×2/9×(1-2/9) また，3回のうち2回赤が出る事象は ₃C₂=₃C₁（=3）通りある どの事象でも確率は同じ だから ₃C₁×(2/9)²×(1-2/9)=28/243 でも！ 公式を使わなくてもできるよね！ 【まず公式ありきではない！】

nCr × p^r × (1-p)^(n-r) をもう少し詳しく言うと 例えば 事象Aが3回中1回起こるとすると求める確率は p¹×(1-p)²×₃C₁ （1回目にAが起こり，2回目と3回目はAが起こらない確率は p¹×(1-p)²。2回目にAが起こり，1回目と3回目にAが起こらない確率もそれと同じ。3回目にAが起こり，1回目と2回目にAが起こらない確率もそれと同じ。その事象Aが1回目に起こるか2回目に起こるか3回目に起こるかの3(=₃C₁)通りある） 事象Aが5回中2回起こるとすると求める確率は p²×(1-p)³×₅C₂ 事象Aがn回中r回起こるとすると求める確率は…

硬貨を投げて表が出る確率は 1/2 もちろん裏が出る確率も同じ 5回のうち表が 2回出る出方は ₅C₂ 通りあるから (1/2)² × (1-1/2)³ × ₅C₂ =(1/2)⁵ × 5×4/(2×1) =5/16

1回の試行で赤玉が出る確率は 2/6=1/3 赤玉が 5回以上出るとは，5回出る時と 6回出る時があるから (1/3)⁵×(1-1/3)⁶⁻⁵×₆C₅ + (1/3)⁶×(1-1/3)⁶⁻⁶×₆C₆ =(1/3)⁵×(2/3)×₆C₁ + (1/3)⁶×(2/3)⁰×1 =4/243+1/729 =13/729

「6回目に 3度目の赤玉が出る」とは「5回目までに赤玉が 2回出て，6回目に 3度目の赤玉が出る」ということである 「5回目までに赤玉が 2回出ること」と「6回目に 3度目の赤玉が出ること」は独立（お互いに試行が他の試行に影響しない）だから {(1/3)²×(2/3)⁵⁻²×₅C₂} × (1/3) =(1/3)²×(2/3)³×5×4/(2×1)×(1/3) =80/729

6回のうちr回表が出ると裏は(6-r)回出たことになる。 原点に戻るのは 2r+(-1)(6-r)=0 が成り立つ時である。つまり，r=2の時。 よって，表が2回出る時，Pは原点に戻る。 (1/2)²×(1-1/2)⁶⁻²×₆C₂ =(1/2)⁶×15 =15/64

「5回目で終わる」のは「4回目までで3勝1敗で，5回目に勝つ」ということである。 また「Aが5回目で勝って終わる」場合と「Bが5回目で勝って終わる」場合がある。 [{(1/2)³×(1-1/2)¹×₄C₁}×(1/2)]×2 =1/4

「6回目でAが勝って終わる」のは「Aが5回目までで3勝2敗で，6回目に勝つ」ということである。 {(1/2)³×(1-1/2)²×₅C₂}×(1/2) =5/32