# 1Betul/Salah
中学校で習った三角形の合同条件は以下である。
（1）3辺がそれぞれ等しい
（2）2辺とその間の角がそれぞれ等しい
（3）1辺とその両端の角がそれぞれ等しい
これらと三角比の問題を関連付けて考えると覚えやすいよ
数Ⅰ 09. 図形と計量（3）正弦定理と余弦定理⭐
じゅんじ or じょん先生
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数学
数Ⅰ 09. 図形と計量（3）正弦定理と余弦定理⭐
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# 2pilihan
【正弦定理】⭐
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
はどんな時に使うか。（答えは一つとは限らない）
三角形の「向かい合っている辺と角」に注目！
A. 当然【外接円の半径】といえば正弦定理
B. 例えば a / sin A = b / sin B だから 三角形の【1辺と2角】が分かる時，他の1辺が求まる
C. 例えば a / sin A = b / sin B だから 三角形の【2辺と1角】が分かる時，他の1角が求まる
D. 例えば a / sin A = 2R より，sin A = a / 2R だから（2Rは出てきてしまうが）【角度をやめて辺だけの式にすることができる】
petunjuk
B. は三角形の合同条件「1辺とその両端の角がそれぞれ等しい」と似ているね
でも両端の角である必要はない
なぜ？
2角が分かっていれば（180°から引いて）残りの角も求まるから
結局は両端の角も分かるんだね
C. は三角形の合同条件「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」と似ているね
でもその間の角である必要はない
ただし，0°≦θ≦180° では sin は 2つ角度が出てくることに注意してね
# 3Jawapan pendek
△ABCにおいて，b=√6，A=45°，B=60°の時，a を求めよ。
2
a = 2
petunjuk
a / sin A = b / sin B に代入して・・・
# 4pilihan
【余弦定理】⭐
a² = b² + c² - 2bc cos A
b² = c² + a² - 2ca cos B
c² = a² + b² - 2ab cos C
はどんな時に使うか。（答えは一つとは限らない）
A. 例えば a² = b² + c² - 2bc cos A だから 三角形の【2辺とその間の角】が分かる時，他の1辺が求まる
B. 例えば a² = b² + c² - 2bc cos A より，cos A = ( b² + c² - a² ) / 2bc だから三角形の【3辺】が分かる時，他の1角が求まる！実際，どの角でも求められる
C. 例えば a² = b² + c² - 2bc cos A より，cos A = ( b² + c² - a² ) / 2bc だから（一見複雑になったように見えるが）【角度をやめて辺だけの式にすることができる】
petunjuk
この公式の図形的意味が重要！
【直角三角形がそうでなくなった時，斜辺がどの程度伸び縮みするかを示している！】
A が 90° になって直角三角形になったら？
a² = b² + c²
という三平方の定理になるね
だから
Aが鋭角の時は a は
その斜辺よりは短くなり
どれだけ短くなるかを示しているのが 2bc cos A！
Aが鈍角の時は a は
その斜辺よりは長くなり
どれだけ長くなるかを示しているのが 2bc cos A！
（鈍角の時 cos A はマイナスになるから - cos A はプラスになるね）
# 5Jawapan pendek
△ABCにおいて，b = √3，c = 2，A = 150° の時，a を求めよ。
√13
a=√13
petunjuk
角A が分かっているから，a² = の式を使うよ
# 6pilihan
△ABCにおいて，a = 2，b = √6，B = 60° の時，c を求めよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。【答えはヒントに記載】
A.「 c を求めよ」とあるので余弦定理の c² = の式を使う。
B. a, b, B が分かっているので正弦定理を使って 角A を求め，そこから 角C を求め，余弦定理の c² = の式を使う。
C.「 c を求めよ」とあるが 角B の値が分かっているので余弦定理の b² = の式を使う。
petunjuk
A. のやり方だと cos C が分からないから行き詰ってしまう
B. のやり方だとこの問題では，sin A = 1 / √6 となって行き詰ってしまう
C. だと
b² = c² + a² - 2ca cos B
より
c² - 2c - 2 = 0
となるから，解の公式を使って
c = 1 ±√3
c > 0 より（ c は辺の長さだからマイナスになることはない）
c = 1 + √3
# 7Jawapan pendek
△ABCにおいて，a = 3，b = 2，c = √7 の時，C を求めよ。
60
60°
60度
petunjuk
C を求めよとあるので
c² = a² + b² - 2ab cos C
を変形して
cos C = ( a² + b² - c² ) / 2ab
に代入して・・・
# 8pilihan
△ABCにおいて，a = 2，b = √3 + 1，C = 60° の時，残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。
c = √6，A = 45°と135°，B = 75°
c = √6，A = 45°，B = 75°
petunjuk
2辺とその間の角が分かっているから余弦定理を使う
（正弦定理を使おうとしても A, B, c が分からないから式を作れない）
しかも C が分かっているから c² = の式を使う
c² = 6 より c > 0 だから c = √6
a² = の余弦定理を頭の中で変形して cos A = の式を作り，全て代入して
A = 45°
だから B = 180° - 45° - 75° = 75°
# 9pilihan
△ABCにおいて，b = √2，B = 30°，c = 2 の時，A，C，a を求めよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。（答えは一つとは限らない）【答えはヒントに記載】
A. 2辺と1角が分かっているから，正弦定理を使って C を求める→C には 2通りの答えがあるので，それぞれの場合に分けて A を求める→余弦定理を使おうとしても cos A が分からない→しかし，図をかいてみると（AからBCへおろした垂線の足をHとすると）a=BH+CHやa=BH-CHとなることが分かるから求められる
B. 角Bが分かっているから，余弦定理 b² = の式を使うと a についての2次方程式ができ，それを解くと a が求まる→a には 2通りの答えがあるので，それぞれの場合に分けて c² = の余弦定理から C を求める→Aも求まる
petunjuk
答え：
C=45°の時，A=105°，a=√3+1
C=135°の時，A=15°，a=√3-1
ちなみに
B. で a が求まった後 a² = の余弦定理を使うと cos A が分からないので行き詰ってしまう→そこで c² = の式を使うんだよ
また
A. で使ったことを覚えておくと将来使えるよ（それは次の問題で）
# 10Betul/Salah
【余弦定理の別の表現】⭐
a = c cos B + b cos C
b = a cos C + c cos A
c = b cos A + a cos B
petunjuk
図より角Bも角Cも鋭角なら，BC つまり a は
a = c cos B + b cos C
図より角Cが鈍角なら，BC つまり a は
a = BH-CH
= c cos B - b cos ( 180° - C )
= c cos B - ( - b cos C )
= c cos B + b cos C
だから
a = c cos B + b cos C
は鈍角でも鋭角でも成り立つ！
# 11Betul/Salah
【正弦定理の別の表現】⭐
a : b : c = sin A : sin B : sin C
a/sin A=b/sin B=c / sin C=2R より
a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C だから
a : b : c
=2Rsin A : 2Rsin B : 2Rsin C
= sin A : sin B : sin C
# 12Betul/Salah
【三角形の辺と角】
角度・辺・sin の大小順は同じ，cos だけ逆順…⭐
（ 角度が大きくなると sin は増えて，cos は減るから）
● 正弦定理より a : b : c = sin A : sin B : sin C
● 対応する辺と角の大小は一致する（最大辺⇔最大角）
● A < B < C ⇔ sin A < sin B < sin C，cos A > cos B > cos C
# 13pilihan
△ABCにおいて，次の等式が成り立つ時，この三角形の最大の角を求めよ。
sin A : sin B : sin C = 7 : 5 : 3
30° を選ぶなんてありえないよ
最大角が30° はないでしょう！
30°
90°
120°
150°
petunjuk
正弦定理より
a:b:c=sin A:sin B:sin C だから
a:b:c=7:5:3
この時，正の数kを用いて
a=7k, b=5k, c=3
と表すことができる
aが最大辺だから，Aが最大角である
余弦定理より
cos A = {(5k)²+(3k)²-(7k)²}/(2×5k×3k)=- 1/2
よって，最大角は A=120°
★ここで，a=7, b=5, c=3 とするのは結果は同じでも間違い！（比と長さは別のものだから）
⭐a : b : c = 7 : 5 : 3 である△ABCは，三角形の大きさに関係なく，常に A=120° となる！
# 14pilihan
△ABCにおいて，次の等式が成り立つことを証明せよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。【答えはヒントに記載】
a sin A sin C + b sin B sin C = c ( sin² A + sin² B )
やり方が思い浮かばない
ここで，正弦定理の出番だ！ a / sin A = 2R より sin A = a / 2R だから同様に sin B, sin C も表せて，左辺を整理し，右辺も整理したらどちらも同じ式になるはず
petunjuk
a sin A sin C + b sin B sin C = c ( sin² A + sin² B ) で
（左辺）
= a × a/2R × c/2R + b × b/2R × c/2R
= c(a²+b²)/4R²
また（右辺）
= c { (a/2R)² + ( b/2R)² }
= c { (a²+b²)/4R² }
= c(a²+b²)/4R²
だから与式は成り立つ
# 15pilihan
△ABCにおいて，次の等式が成り立つことを証明せよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。【答えはヒントに記載】
a ( b cos C - c cos B ) = b² - c²
やり方が思い浮かばない
ここは余弦定理の出番だ！ cos C=(a²+b²-c²)/2ab，同様に cos B を左辺に代入して整理すれば右辺になるはず
petunjuk
a ( b cos C - c cos B ) = b² - c² で
（左辺）
= a { b × (a²+b²-c²)/2ab - c × (c²+a²-b²)/2ca }
= { (a²+b²-c²) - (c²+a²-b²) } / 2
= (2b²-2c²)/2
= b²-c² =（右辺）
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