【平均変化率】⭐

関数 $y=f\left(x\right)$ において，$x$ の値が $a$ から $b$ まで変化する時

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

のことを「$x=a$ から $x=b$ までの，関数 $f\left(x\right)$ の平均変化率」という。

【微分係数】⭐

関数 $f\left(x\right)$ の $x=a$ から $x=b$ までの平均変化率

$\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

において，$b$ を $a$ に限りなく近づける時，これがある一定の値に限りなく近づく場合，これを

関数 $f\left(x\right)$ の $x=\alpha$ における微分係数という

【微分係数の図形的な意味】⭐

関数 $y=f\left(x\right)$ のグラフ上の点A$\left(a,f\left(a\right)\right)$ における接線の傾きは，関数 $y=f\left(x\right)$ の $x=a$ における微分係数 $f^{\prime}\left(a\right)$ で表される

関数 $​y=x^2​$ のグラフ上の点A$​\left(3,9\right)​$ における接線の傾き $​m​$ を求めよ。

関数 $​y=f\left(x\right)​$において，$​x​$ の各値 $​a​$ に対して，微分係数 $​f^{\prime}\left(a\right)​$$を対応させると，$1つの新しい関数が得られる

すなわち，​$​a​$$を変数とみると，$$​f^{\prime}\left(a\right)​$​ は $​a​$$の関数である<br /><br />これを導関数といい$$​f^{\prime}\left(x\right)​$​ で表す

関数 $​x^{n}​$ と定数関数について，正しいのはどれか。

次の関数を微分せよ。

$y=3x^2-4x+2$

答え

$y^{\prime}=3\cdot2x-4\cdot1+0$
$y^{\prime}=6x-4$

次の関数を微分せよ。

$y=x\left(x+1\right)\left(x-2\right)$

答え

$y=x\left(x^2-x-2\right)=x^3-x^2-2x$

だから

$y^{\prime}=3x^2-2x-2$

を通り，傾きが $m$ の直線の方程式は

$y-y_1=m\left(x-x_1\right)$

だったことを思い起こして

関数 $y=f\left(x\right)$ のグラフ上の点$\left(a,f\left(a\right)\right)$ における接線の方程式は

$y-f\left(a\right)=f^{\prime}\left(a\right)\left(x-a\right)$

関数 $​y=-x^2+4x​$ 上の点 $​\left(1,3\right)​$ における接線の方程式を求めよ。

【グラフ上にない点から引いた接線】

関数 $​y=x^2+4​$ に点 $​\left(1,1\right)​$から引いた接線の方程式と，接点の座標を求めよ。

を解く場合の考え方は・・・

「グラフ上の点を通る接線を考える」のではなく

「グラフ上の点 $​\left(a,a^2+4\right)​$ を通る接線の式を求め，その接線が $​\left(1,1\right)​$ を通る」と考える！

関数 $​y=x^2+3​$ のグラフに点$​\left(1,0\right)​$ から引いた接線の方程式を求めよ。