【対数とは】 例えば，$y=3^{x}$ は増加関数で値域は正の数全体である だから，$3^{x}=9$ を満たす $x$ は $2$ とただ1つに定まる 一般に， $y=a^{x}$ のグラフから分かるように，どんな正の数 $M$ についても $a^{x}=M$ を満たす実数 $x$ がただ1つ定まる この $x$ を $a$ を底とする$M$の対数と言い $\log_{a}M$​ と表す

$a>0,a\ne0,M>0$ とする時，次の式が成り立つ $M=a^{p}\lrArr\log_{a}M=p$ つまり $\log_{a}M$ とは「 $a$ を何乗したら $M$ になるか」と聞いているだけ！⭐ だから $\log_381=4$ $\log_7\frac{1}{49}=-2$

$\log_{a}M=p$ の時，正しいのはどれか。

• $a$ を底という→ 何を掛けるのか
• $p$ を対数という→ 何回掛けたか
• $M$ を真数という→ 何かを何回か掛けて最終的に求めたい値

$\log_{a}M$ とは「 $a$ を何乗したら $M$ になるか」と聞いているので，正しいのはどれか。

• $a^{\log_{a}x}=x$ → 複雑に見えるので $\log_{a}x=p$ とおく → 与式は $a^{p}$ と表せる → そもそも $\log_{a}x$ は $a$ を何乗したら $x$ になるかと聞いているので $（与式）= a^{p}=x$
• $\log_{a}1=0$ → $a$ を何乗したら 1 になるか？
• $\log_{a}a^{x}=x$ → $a$ を何乗したら$a^{x}$ になるか？
• $\log_{a}a=1$ → $a$ を何乗したら $a$ になるか？

【対数の性質】⭐ $a>0,a\ne1,M>0,N>0$ の時 $\log_{a}MN=\log_{a}M+\log_{a}N$ 真数の積は対数の和 $\log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N$ 真数の商は対数の差 $\log_{a}M^{k}=k\log_{a}M\left(kは実数\right)$ 真数の累乗は対数の$k$倍 また，その逆も成り立つ

正しいものをすべて選べ。

• $\log_224-\log_23=3$
• $4\log_3\sqrt2-\log_312=\log_3\left(\sqrt2\right)^4-\log_312=\log_3\frac13=1$
• $\log_{10}2+\log_{10}5=1$

【底の変換公式】⭐ $a,b,c$ は正の数で，$a\ne1,b\ne1,c\ne1$ とする時 $\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ 特に $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$

次の式を簡単にせよ。（ヒント：底の変換を） $\log_23\cdot\log_38$

• 3

図の青色は $y=2^{x}$ のグラフで 図の赤色は $y=\log_2x$ のグラフである 互いに，黄色の直線 $y=x$ に関して対称である 一般に指数関数 $y=\log_{a}x$ のグラフは $a>1$ の時 ● $y$ 軸を漸近線としてもつ ● 必ず $\left(1,0\right),\left(a,1\right)$ を通る ● 右上がりの曲線になる

青色は $y=\left(\frac12\right)^{x}$ 赤色は $y=\log_{\frac12}x$ のグラフである 互いに，黄色の直線 $y=x$ に関して対称である 一般に指数関数 $y=\log_{a}x$​ のグラフは $0<a<1$ の時 ● $y$ 軸を漸近線としてもつ ● 必ず $\left(1,0\right),\left(a,1\right)$ を通る ● 右下がりの曲線

【対数関数 $y=\log_{a}x$ の特徴】⭐ 1. 定義域は正の数全体，値域は実数全体である 2. $a>1$ の時，増加関数である つまり，$0<p<q\lrArr\log_{a}p<\log_{a}q$ 3. $0<a<1$ の時，減少関数である つまり，$0<p<q\lrArr\log_{a}p>\log_{a}q$

次の2つの数の大小を不等号を用いて表せ。 $2\log_53$ $3\log_52$

• 2 log₅ 3 < 3 log₅ 2
• 2 log₅ 3 ≦ 3 log₅ 2
• 2 log₅ 3 > 3 log₅ 2
• 2 log₅ 3 ≧ 3 log₅ 2

次の方程式，不等式を解け。 （1）$\log_2x=3$ （2）$\log_2x\le3$

• （1）x=8, （2）x≦8
• （1）x=8, （2）x≧8
• （1）x=8, （2）0<x≦8

方程式 $\log_3x+\log_3\left(x-8\right)=2$ を解け。

• x=-1, x=9
• x=9

不等式 $\log_2\left(2-x\right)\ge\log_2x$ を解け。

• x≦1
• 0<x≦1
• 0<x<2

$1\le x\le27$の時，関数 $y=\left(\log_3x\right)^2-\log_3x^4-1$ の最大値と最小値を求めよ。 $\log_3x=t$ とおく 底3は1より大きいから $1\le x\le27$ の時 $0\le t\le3$ …① $y=t^2-4t-1=\left(t-2\right)^2-5$ ①の範囲で$y$ は $t=0つまりx=1の時最大値-1$ $t=2つまりx=9の時最小値-5$

$3^{20}$ は何桁の数か。ただし，$\log_{10}3=0.4771$ とする。 $\log_{10}3^{20}=20\log_{10}3=20\times0.4771=9.542$ $9<\log_{10}3^{20}<10$ であるから $10^9<3^{20}<10^{10}$ よって，$3^{20}$ は

• 9桁の数
• 10桁の数
• 11桁の数

$2^{n}$ が10桁の数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。ただし，$\log_{10}2=0.3010$ とする。 答え $10^9\le2^{n}<10^{10}$ が成り立つ 常用対数をとると $9\le n\log_{10}2<10$ $\frac{9}{\log_{10}2}\le n<\frac{10}{\log_{10}2}$ よって n=30,31,32,33

$\log_{10}\left(\frac13\right)^{30}$ を小数で表した時，小数第何位に初めて0出ない数字が現れるか。ただし，$\log_{10}3=0.4771$ とする。 $\log_{10}\left(\frac13\right)^{30}=-30\log_{10}3=-14.313$ $10^{-15}<\left(\frac13\right)^{30}<10^{-14}$

• 小数第13位
• 小数第14位
• 小数第15位
• 小数第16位

30分ごとに分裂して，個数が2倍に増えるバクテリアがある。このバクテリア10個が，1億個以上になるのは何時間後か。ただし，$\log_{10}2=0.3010$ とし，答えは整数で求めよ。 答え $x$ 時間後のバクテリアの個数は $10\times2^{2x}$ $10\times2^{2x}\ge10^8$ 常用対数をとると，底2>1より $2x\log_{10}2\ge7$ 12時間後