a>0 の時，a の累乗 aⁿ は指数 n が正の整数の場合しか成り立たない （今後 aⁿ を a^n と表すこともある）

【指数法則（指数が整数）】⭐ $a\ne0,b\ne0$ で，$m,n$ は整数とする時，正しいものをすべて選べ。

• $a^{m}\times a^{n}=a^{(m+n)}$
• $(a^{m})^{n}=a^{mn}$
• $(ab)^n = a^n × b^n$

次の式で正しいのはどれか。

• $2^{-3}=-8$
• $2^{-3}=-\frac18$
• $3⁰=1$
• $(-2)^{-3}=-\frac18$
• $3^{-3}=\frac{1}{27}$

次の式で正しいのはどれか。

• $\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^3}=2$
• $\sqrt[8]{16}=\sqrt[8]{2^4}=2$
• $(\sqrt[4]{5})^3=\sqrt[4]{5^3}=\sqrt[4]{125}$
• $\sqrt[3]{3}\times\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{27}=3$

次の式で正しいのはどれか。

• $8^{\frac43}=(2^3)^{\frac43}=2^{3\times\frac43}=2^4=16$
• $27^{-\frac13}=\frac{1}{27^{\frac13}}=\frac{1}{\left(3^3\right)^{\frac13}}=\frac13$
• $9^{\frac12}=\left(3^2\right)^{\frac12}=3^1=3$

指数法則は指数が有理数でも，無理数でも成り立つ $a>0,b>0$ で $r,s$ を無理数とすると 1. $a^{r}\times a^{s}=a^{(r+s)}$ 累乗の積は指数の和 2. $a^{r}\div a^{s}=a^{\left(r-s\right)}$ 累乗の商は指数の差 3. $(a^{r})^{s}=a^{rs}$ 累乗の累乗は指数の積 4. $\left(ab\right)^{r}=a^{r}\times b^{r}$ 積の累乗は累乗の積

次の計算で正しいのはどれか。

• $8^{-\frac13}=\frac{1}{8^{\frac13}}=\frac{1}{\sqrt[3]{8}}=\frac12$
• $5^{\frac23}\times5^{\frac43}=5^{\frac23+\frac43}=5^2=25$
• $\left({4^{\frac13}}\right)^{\frac32}=4^{\frac13\times\frac32}=4^{\frac12}=\sqrt4=2$

次の計算で正しいのはどれか。

• $\sqrt[3]{5}\times\sqrt[6]{625}=5^{\frac13}\times\left(5^4\right)^{\frac16}=5^{\frac13+\frac23}=5^1=5$
• $\left(4^{\frac13}\right)^{\frac23}=4^{\frac13+\frac23}=4^1=4$
• $\left(a^{\frac12}\right)^3\times a^{\frac14}\div a=a^{\frac32+\frac14-1}=a^{\frac34}$

$3^{\sqrt2}$ のように，指数が無理数になるような累乗は存在しない

負の数の奇数乗根は存在するが，負の数の偶数乗根は存在しない（ただし，実数の範囲において）

1 とは異なる正の定数を $a$ とする時，$y=a^{x}$ は x の関数である。 この関数を「●● とする x の ▲▲」という。 適切な言葉を選べ。

• a を庭とする x の指数関数
• a を定とする x の関数
• a を底とする x の指数関数
• a を底とする x の関数

図で以下は正しいか。 赤いグラフが $y=2^{x}$ であり 青いグラフが $y=\left(\frac12\right)^{x}$ である

指数関数 $y=a^{x}$$の特徴について正しいものを選べ。ただし，$$a>0$ とする。

• $a>1$ の時，増加関数である，つまり，$p<q\lrArr a^{p}<a^{q}$ である
• 定義域は実数全体，値域は正の数全体である
• $y$ が負の数になることは絶対にない，つまり，グラフは必ず $x$ 軸よりも上側にある
• $a<1$ の時，減少関数である，つまり，$p<q\lrArr a^{p}>a^{q}$ である
• $0<a<1$ の時，減少関数である，つまり，$p<q\lrArr a^{p}>a^{q}$ である

次の3つの数の大小関係を不等号を用いて表せ。 $\sqrt2,\sqrt[3]{4},\sqrt[5]{8}$ この問題を解く時に入る言葉を下から選べ。 答え $\sqrt2=2^{\frac12},\sqrt[3]{4}=2^{\frac23},\sqrt[5]{8}=2^{\frac35}$ よって 指数の大小を調べると $\frac12<\frac35<\frac23$ ●●から $2^{\frac12}<2^{\frac35}<2^{\frac23}$

• 底 2 は 1 より小さい
• 底は正の数
• 底 2 は 1 より大きい

次の方程式を解け。 $8^{x}=4$ 答え $2^{3x}=2^2$ $3x=2$ $x=\frac23$

次の方程式を解け。 $9^{x}=3^{x+1}$

• x=1

不等式 $2^{x}\ge8$ を解く時に，必要な語句を選べ。 答え $2^{x}\ge2^3$ ●● $x\ge3$

• 底 2 は 1 より小さいから
• 底 2 は 1 より大きいから
• 指数に注目して

次の不等式を解け。 $\left(\frac13\right)^{x+1}<\left(\frac19\right)^{x}$ 答え 不等式を変形すると $\left(\frac13\right)^{x+1}<\left(\frac13\right)^{2x}$ 底 $\frac13$ は 1 より小さいから

• $x+1<2x$ を解いて $x>1$
• $x+1>2x$ を解いて $x<1$
• 指数に注目して

次の方程式を解け。 $4^{x}-3\cdot2^{x}-4=0$ 答え $\left(2^{x}\right)^2-3\cdot2^{x}-4=0$ $2^{x}=t$ とおくと $t>0$ …①⭐この式が大切！ $t^2-3t-4=0$ $(t+1)(t-4)=0$ $t=-1,4$ ①より $t=-1$ は不適 $t=4$ よって $2^{x}=4=2^2$ $x=2$

次の不等式を解け。 $4^{x}-7\cdot2^{x}-8>0$

• x>3