【正弦・余弦の加法定理】😊 sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β cos (α+β) = cos α cos β - sin α sin β の有名な覚え方はどれか。（答えは一つとは限らない） ≪ 2つの角の和または差の三角関数はそれぞれの角の三角関数の値で表すことができる！≫ 三角関数の公式では，上の加法定理と合成だけは覚えておかないとどうにもならない

• サインコサイン，コサインサイン
• コスコス，マイナス，シンシン
• さいたコスモス，コスモスさいた

【正弦・余弦の加法定理】⭐ sin (α-β) = sin α cos β - cos α sin β cos (α-β) = cos α cos β + sin α sin β この公式は覚えない！ 下のように考えてその場で5秒で導く α-β を α+(-β)とおきかえて和の公式を！ サインは符号が逆になる，コサインは符号が変わらないことから， sin β がある項だけ符号を逆にすればいい

sin 75°を求めよ。

• そんなの覚えてない
• sin(45°+30°) と考えて加法定理から (√6+√2)/4

αの動径が第3象限，βの動径が第4象限にあり，sinα=-3/5，cosβ=4/5 の時，sin(α+β) とcos(α-β) の値を求めよ。 ヒント αの動径が第3象限にあるから cosα<0 βの動径が第4象限にあるから sinβ<0 よって cosα=-√(1-sin²α)=-√{1-(-3/5)²}=-4/5 sinβ=-√(1-cos²β)=-√{1-(4/5)²}=-3/5

• sin(α+β)=sinα cosβ-cosα sinβ=-24/25
• sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ=0
• cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ=-7/25
• cos(α-β)=cosα cosβ-sinα sinβ=-1

【正接の加法定理】⭐ tan (α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) tan (α-β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α tan β) 上の式の覚え方は 「 1 マイナス タンタン ぶんの タン プラス タン」 下の式の覚え方は α-β を α+(-β)とおきかえて和の公式を！ tanβ の符号が逆になることに注意

tan 75°を求めよ。

• そんなの覚えてない
• (4+2√3)/2
• 2+√3

2直線 y=3x-1，y=1/2 x+1 のなす角θを求めよ。ただし，0<x<π/2…① とする。 答え 2直線とx軸の正の向きとのなす角をそれぞれα，βとすると 求める角は α-β である また，直線の傾きは tan で表すことができるから tanα=3, tanβ=1/2 より tanθ=tan(α-β)=1 ①の範囲で θ=π/4

【点が回転した時の座標】 点P(2,4)を，原点Oを中心としてπ/4だけ回転した位置にある点Qの座標を求めよ。 答え 点Qの座標を(x,y)とする。 OP=r，動径OPとx軸の正の向きとのなす角をαとすると 2=r cosα，4=r sin α だから x=r cos(α+π/4)を加法定理を使うとx=-√2 y=r sin(α+π/4)を加法定理を使うとy=3√2 よって(-√2,3√2)

【2倍角の公式】⭐ sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos²α - sin²α cos 2α = 1 - 2 sin²α 😊 cos 2α = 2 cos²α - 1 😊 tan 2α = 2 tan α / (1-tan²α) でも上の5式は覚えるな！ 加法定理の公式からその場で5秒で作れ！ 😊の式は後でも使うから形だけは覚える

【半角の公式】⭐ sin² α/2 = (1-cosα)/2 cos² α/2 = (1+cosα)/2 tan² α/2 = (1-cosα)/(1+cosα) でも上の式は覚えるな！ cosの加法定理の公式からその場で2倍角の公式を思い浮かべ，7秒で作れ！ tanθ=sinθ/cosθだから，sinとcosの半角の公式からその場で，1秒で作れ！

三角関数を含む方程式や不等式は 2倍角の公式 半角の公式 などを使って，式を変形すれば解ける ただし，角の範囲 0≦θ<2π などに注意して！

【三角関数の合成】⭐⭐ 三角関数の公式で，合成はゼッタイ覚えていないとどうにもならない！ a sinθ + b cosθ = r sin(θ+α) ただし， r=√(a²+b²) cos α = a/r sin α = b/r 意味 sinの加法定理の右辺から左辺を作り出すのが合成！ 使い方 角度が同じなら 三角関数が異なっていても その係数が異なっていても sin でまとめられる！

次の式を r sin(θ+α) の形に変形せよ。ただし，r>0, -π<α<π とする。 sinθ + √3 cosθ ヒント 1 sinθ + √3 cosθ と考えて

• 1 sinθ + √3 cosθ と考えて，(1,√3) の点Pを取ると OP=r=√{1²+(√3)²}=2より sinθ + √3 cosθ=2 sin(θ+π/3)
• √{1²+(√3)²}=2より，sinθ + √3 cosθ=2(1/2 sinθ+√3/2 cosθ)=2(sinθ cos π/3 + cosθ sin π/3)=2 sin(θ+π/3)
• 三角関数が異なるから計算できない

0≦x<2π の時，次の方程式を解け。 sin x - √3 cos x = 1 答え 左辺の三角関数を合成すると 2sin(x-π/3)=1 よって sin(x-π/3)=1/2 …① 0≦x<2π の時 -π/3≦x-π/3<5π/3 であるから，この範囲で①を解くと x-π/3=π/6, 5π/6 ゆえに x=π/2, 7π/6

y=sin x+cos x(0≦x<2π) の最大値と最小値，およびその時のxの値を求めよ。 答え 合成し y=√2sin(x+π/4) 0≦x<2π の時 π/4≦x+π/4<9π/4 だから -1≦sin(x+π/4)≦1 よって -√2≦y≦√2 sin(x+π/4)=1 の時 x=π/4 sin(x+π/4)=-1 の時 x=5π/4 x=π/4で最大値√2 x=5π/4で最小値-√2

【積和の公式】⭐ sinα cosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)} cosα sinβ=1/2{sin(α+β)-sin(α-β)} cosα cosβ=1/2{cos(α+β)+cos(α-β)} sinα sinβ=-1/2{sin(α+β)-cos(α-β)}

• がんばって暗記する
• この公式は覚えない！sin,cos の加法定理からその場で5秒で導く
• こんなの覚えられないからあきらめる

【積和の公式】 sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ⭐ …① から5秒考えて sin(α-β)=sinα cosβ-cosα sinβ …② を導く！ cos(α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ⭐ …③ から5秒考えて cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ …④ を導く！ これらを使うと積和の公式は次のようにその場で簡単に求められる！

• ①②をたすと，右辺は 2sinα cosβ になるから，sinα cosβ=1/2{sin(α+β)+sin(α-β)}
• ①から②を引くと，右辺は 2cosα sinβ になるから，cosα sinβ=1/2{sin(α+β)-sin(α-β)}
• ③④をたすと，右辺は 2cosα cosβ になるから，cosα cosβ=1/2{cos(α+β)+cos(α-β)}
• ③から④を引くと，右辺は -2sinα sinβ になるから，sinα sinβ=-1/2{sin(α+β)-cos(α-β)}

【和積の公式】⭐ sinA+sinB=2 sin(A+B)/2 cos(A-B)/2 sinA-sinB=2 cos(A+B)/2 sin(A-B)/2 cosA+cosB=2 cos(A+B)/2 cos(A-B)/2 cosA-cosB=-2 sin(A+B)/2 sin(A-B)/2

• こんなの覚えられないからあきらめる
• がんばって暗記する
• この公式も覚えない！sin, cos の加法定理からその場で3秒で導く

【和積の公式】 sin(α+β)=sinα cosβ+cosα sinβ⭐ …① sin(α-β)=sinα cosβ-cosα sinβ …② cos(α+β)=cosα cosβ-sinα sinβ⭐ …③ cos(α-β)=cosα cosβ+sinα sinβ …④ α+β=A, α-β=Bとおくと たして2で割るとα=(A+B)/2 引いて2で割るとβ=(A-B)/2 だから…

• ①②をたすと，右辺は 2sinα cosβ になるから，sinA+sinB=2sin(A+B)/2 cos(A-B)/2
• ①から②を引くと，右辺は 2cosα sinβ になるから，sinA-sinB=2cos(A+B)/2 sin(A-B)/2
• ③④をたすと，右辺は 2cosα cosβ になるから，cosA+cosB=2cos(A+B)/2+cos(A-B)/2
• ③から④を引くと，右辺は -2sinα sinβ になるから，cosA-cosB=-2sin(A+B)/2 sin(A-B)/2

次の方程式を解く時に使う公式はどれか。ただし，0≦x<2πとする。（方程式を解く必要はない） （1） cos 2x + 3cos x - 1 = 0 （2） sin 3x + sin x = 0 （3） sin x - √3 cos x = 1

• （1）半角の公式，（2）積和の公式，（3）三角関数の合成
• （1）三角関数の合成，（2）和積の公式，（2倍角の公式も使うかも）（3）和積の公式
• （1）2倍角の公式，（2）和積の公式，（2倍角の公式も使うかも），（3）三角関数の合成