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高校 1
数学

数Ⅰ 01. 数と式（1）式の計算⭐

落合宜史
45
0
まなぶてらす　じょん先生
追加された問題 (18/ 20)
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公開クイズ

問題 1

選択式

次の単項式の係数と次数をいえ。 （1）3a （2）-4m²n

  • （1）係数は 3，次数は 1 （2）係数は -4，次数は 2
  • （1）係数は 3，次数は 1 （2）係数は -4，次数は 3
ヒント

単項式の次数は，掛けた文字の個数だね

問題 2

選択式

3ab³x² の単項式の係数と次数をいえ。 （1）x に着目した時 （2）a と b に着目した時

  • （1）係数は 3，次数は 2（2）係数は 3，次数は 2
  • （1）係数は 3，次数は 2（2）係数は 3，次数は 6
  • （1）係数は 3ab³，次数は 2（2）係数は 3x²，次数は 4
ヒント

特定の文字に着目した時は，他の文字は数字とみなすんだったね （2）では a と b に着目した時は，それ以外の 3 も x² も数字とみなすよ

問題 3

選択式

次の多項式は何次式か。 x³ + 3x² - 5x + 5

  • 3次式
  • 4次式
  • 6次式
ヒント

多項式の場合は，次数が最も高い項の次数を，その多項式の次数というね だから，3+2+1=6 次式 としてはいけないね

問題 4

選択式

多項式 ax³ + 2bx²y + 3cxy⁴ +d は何次式か。また定数項は何か。 （1）x に着目した時 （2）y に着目した時 （3）x と y に着目した時

  • （1）3次式，d（2）4次式，d（3）5次式，d
  • （1）3次式，d（2）4次式，ax³+d（3）5次式，ax³+d
  • （1）3次式，d（2）4次式，ax³+d（3）5次式，d
ヒント

多項式での「定数項」とは，着目した文字を含まない項のことだね（要するに，その文字に着目すると 0 次） （3）x と y に着目した時 x も y も含まない項は，最後の d だね ちなみに，4つの項の次数はそれぞれ 3次，3次，5次，0次 だから，この多項式は最高次の5を使って，5次式というね （2）y に着目した時 4つの項の次数はそれぞれ 0次，2次，4次，0次 だから，この多項式は最高次の4を使って，4次式というし 定数項が ax³+d であることも分かるね

問題 5

OX

多項式 ax + 2a + x² - 2 + x を次の文字について降べきの順に整理せよ。 （1）x について：x² + (a+1)x + (2a-2) （2）a について：(x+2)a + (x²+x-2)

ヒント

降べきの順に整理するとは，次数が低くなる順に各項を並べることだね

問題 6

OX

中学校で習った展開公式 (a+b)²=a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² (a+b)(a-b)=a²-b² (x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab さらに，高校で習ったのが (ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bc でもこれは式全体ではなく 「外側の a と d を掛けて，内側の b と c を掛けて 2つを足したものが x の係数」だけ覚えよう

ヒント

(ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bc は式全体を覚えるのではなく 「外側の a と d を掛けて，内側の b と c を掛けて2つを足したものが x の係数」だけを覚えたらいいね

問題 7

短答式

(a+b+c)² を展開せよ。

  • a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca

  • a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac

  • a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac

  • a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca

ヒント

これを見たら，項が 6 個あるはず，と思いだそう！ a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca の順番が“美しい”よね 証明は a+b=x とおくと (x+c)² =x²+2cx+c² =(a+b)²+2c(a+b)+c² =a²+2ab+b²+2ac+2bc+c² =a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca

問題 8

選択式

次の式を展開する際のお勧めの考え方は。その後展開せよ。（答えはヒントに記載） (x²+x+1)(x²-x+1)

  • 力ずくで9回かけ算するのが，計算力のあかしだ！
  • x²+1 に注目して置き換えを利用！
ヒント

(x²+x+1)(x²-x+1) ={(x²+1)+x}{(x²+1)-x} =(x²+1)²-x² =x⁴+2x²+1-x² =x⁴+x²+1 もちろん，力ずくで展開してもいいけど，発展性がない この先，計算力は上がらないよ そのやり方は恥ずかしいことと心得よ！

問題 9

選択式

次の式を展開する際のお勧めの考え方は。その後展開せよ。（答えはヒントに記載） (a+b)²(a-b)²

  • 力ずくで展開するのがかっこいい！
  • 掛ける順番を変えてスマートに！
ヒント

x²y²=(xy)² だから (a+b)²(a-b)² ={(a+b)(a-b)}² =(a²-b²)² =a⁴-2a²b²+b⁴

問題 10

選択式

次の式を因数分解する際のお勧めの考え方は。その後因数分解せよ。（答えはヒントに記載） 2a(x-2y) + 4b(2y-x)

  • 展開しないでこの式のまま工夫できないか考えてみよう！
  • よく分からないから，とりあえず一度展開して，それから因数分解！
ヒント

2a(x-2y)+4b(2y-x) =2a(x-2y)-4b(x-2y) =(x-2y)(2a-4b) =2(x-2y)(a-2b)

問題 11

OX

中学校で習った因数分解の公式 a²+2ab+b²=(a+b)² a²-2ab+b²=(a-b)² a²-b²=(a+b)(a-b) x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) さらに，高校で習ったのが acx²+(ad+bc)x+bc=(ax+b)(cx+d)

問題 12

選択式

次の式を因数分解せよ。 （1）2x²-3x+1 （2）3x²+11x+6

  • （1） (2x-1)(x-1) （2） (3x+2)(x+3)
  • （1） (2x+1)(x+1) （2） (3x-2)(x-3)
ヒント

たすき掛けで求めてもいいし 次のようにあらかじめ数字を書いて予想してもよい （1）2x²-3x+1 掛けて +2，+1 になる2数から，とりあえず (2x 1)(x 1) と書いてみる。 でもこれでは，外側同士の積（2×1）と内側同士の積（1×1）の和は+3となり，問題の -3 にはならない そこで (2x-1)(x-1) とすると，展開した時に問題の式が出てくるね

問題 13

選択式

次の式を因数分解せよ。正しい答えを選べ。（答えは一つとは限らない） （1）(x+y)² + 2(x+y) - 15 （2）x⁴ - 3x² - 4

  • （1）x+y=A とおいて A²+2A-15と考え (A+5)(A-3)=(x+y+5)(x+y-3)
  • （2）x²=A とおいて A²-3A-4 と考え (A-4)(A+1)=(x²-4)(x²+1)
ヒント

（2）は最後の x²-4 がまだ因数分解できるね だから (x+2)(x-2)(x²+1)

問題 14

選択式

次の式を因数分解する際のお勧めの考え方は。その後因数分解せよ。（答えはヒントに記載） a²+b²+2bc+2ca+2ab

  • 適当に組み合わせてみて，因数分解できたらラッキー！
  • とりあえず，次数の低い文字で整理してみる！
ヒント

aについては2次式，bについても2次式，cについては1次式だから，cで整理すると a²+b²+2bc+2ca+2ab =c(2b+2a)+(a²+b²+2ab) =c×2(b+a)+(a²+2ab+b²) =2c(a+b)+(a+b)² =(a+b){2c+(a+b)} =(a+b)(a+b+2c) 適当に組み合わせてできるかどうかは，運次第だから，「次数の低い文字で整理」というポリシーを持っておこうね！

問題 15

選択式

次の式を因数分解する際のお勧めの考え方は。その後因数分解せよ。（答えはヒントに記載） a²-b²+4a+2b+3

  • 適当に組み合わせてみて，因数分解できたらラッキー！
  • とりあえず，次数の低い文字で整理してみる！
ヒント

aについては2次式，bについても2次式だから，aかbどちらで整理してもよい とりあえず，aで整理してみると a²-b²+4a+2b+3 =a²+4a+(-b²+2b+3) =a²+4a-(b²-2b-3) =a²+4a-(b-3)(b+1) ={a-(b-3)}{a+(b+1)} =(a-b+3)(a+b+1)

問題 16

選択式

次の式を因数分解する際のお勧めの考え方は。その後因数分解せよ。（答えはヒントに記載） a(b²-c²)+b(c²-a²)+c(a²-b²)

  • 適当に組み合わせてみて，因数分解できたらラッキー！
  • とりあえず，次数の低い文字で整理してみる！
ヒント

a，b，cどれについても2次式だから，どれで整理してもよい aで整理してみると a(b²-c²)+b(c²-a²)+c(a²-b²) =a²(-b+c)+a(b²-c²)+bc²-cb² → a²，a，aを含まないもの，でまとめる =a²(c-b)+a(b+c)(b-c)+bc(c-b) =a²(c-b)-a(b+c)(c-b)+bc(c-b) =(c-b){a²-a(b+c)+bc} =(c-b)(a-b)(a-c) → ここでやめてもいい，しかし，数学的には美しくないので大抵の模範解答は =-(b-c)(a-b)×{-(c-a)} =+(a-b)(b-c)(c-a) となっているはず

問題 17

OX

数学Ⅱの内容だが 3次式の展開公式 (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+3b³ (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-3b³ (a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³ (a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³ 左辺と右辺を入れ替えたら因数分解公式 a³±3a²b+3ab²±3b³=(a±b)³ a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)

問題 18

選択式

次の式を展開せよ。 （1）(2x-3)³ （2）(x+1)(x²-x+1) （1） (2x-1)(x-1) （2） (3x+2)(x+3)

  • （1）(2x)³-3(2x)²(3)+3(2x)(3)²-3³=8x³-36x²+54x-27 （2）x³+1³=x³+1
  • （1）(2x)³+3(2x)²(3)+3(2x)(3)²+3³=8x³+36x²+54x+27 （2）x³-1³=x³-1
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