問題 1選択式
次の単項式の係数と次数をいえ。
（1）3a
（2）-4m²n
（1）係数は 3，次数は 1 （2）係数は -4，次数は 2
（1）係数は 3，次数は 1 （2）係数は -4，次数は 3
ヒント
単項式の次数は，掛けた文字の個数だね
数Ⅰ 01. 数と式（1）式の計算⭐
落合宜史
チーム戦
高校 1
数学
数Ⅰ 01. 数と式（1）式の計算⭐
48
クイズ原作者-
じゅんじ or じょん先生
高校 1
数学
数Ⅰ 01. 数と式（1）式の計算⭐
48
クイズ原作者-
じゅんじ or じょん先生
18問
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公開クイズ
問題 2選択式
3ab³x² の単項式の係数と次数をいえ。
（1）x に着目した時
（2）a と b に着目した時
（1）係数は 3，次数は 2（2）係数は 3，次数は 2
（1）係数は 3，次数は 2（2）係数は 3，次数は 6
（1）係数は 3ab³，次数は 2（2）係数は 3x²，次数は 4
ヒント
特定の文字に着目した時は，他の文字は数字とみなすんだったね
（2）では a と b に着目した時は，それ以外の 3 も x² も数字とみなすよ
問題 3選択式
次の多項式は何次式か。
x³ + 3x² - 5x + 5
3次式
4次式
6次式
ヒント
多項式の場合は，次数が最も高い項の次数を，その多項式の次数というね
だから，3+2+1=6 次式 としてはいけないね
問題 4選択式
多項式 ax³ + 2bx²y + 3cxy⁴ +d は何次式か。また定数項は何か。
（1）x に着目した時
（2）y に着目した時
（3）x と y に着目した時
（1）3次式，d（2）4次式，d（3）5次式，d
（1）3次式，d（2）4次式，ax³+d（3）5次式，ax³+d
（1）3次式，d（2）4次式，ax³+d（3）5次式，d
ヒント
多項式での「定数項」とは，着目した文字を含まない項のことだね（要するに，その文字に着目すると 0 次）
（3）x と y に着目した時
x も y も含まない項は，最後の d だね
ちなみに，4つの項の次数はそれぞれ
3次，3次，5次，0次
だから，この多項式は最高次の5を使って，5次式というね
（2）y に着目した時
4つの項の次数はそれぞれ
0次，2次，4次，0次
だから，この多項式は最高次の4を使って，4次式というし
定数項が ax³+d であることも分かるね
問題 5OX 問題
多項式 ax + 2a + x² - 2 + x を次の文字について降べきの順に整理せよ。
（1）x について：x² + (a+1)x + (2a-2)
（2）a について：(x+2)a + (x²+x-2)
ヒント
降べきの順に整理するとは，次数が低くなる順に各項を並べることだね
問題 6OX 問題
中学校で習った展開公式
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
(a+b)(a-b)=a²-b²
(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab
さらに，高校で習ったのが
(ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bc
でもこれは式全体ではなく
「外側の a と d を掛けて，内側の b と c を掛けて
2つを足したものが x の係数」だけ覚えよう
ヒント
(ax+b)(cx+d)=acx²+(ad+bc)x+bc
は式全体を覚えるのではなく
「外側の a と d を掛けて，内側の b と c を掛けて2つを足したものが x の係数」だけを覚えたらいいね
問題 7短答式
(a+b+c)² を展開せよ。
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
ヒント
これを見たら，項が 6 個あるはず，と思いだそう！
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca の順番が“美しい”よね
証明は
a+b=x とおくと
(x+c)²
=x²+2cx+c²
=(a+b)²+2c(a+b)+c²
=a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²
=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
問題 8選択式
次の式を展開する際のお勧めの考え方は。その後展開せよ。（答えはヒントに記載）
(x²+x+1)(x²-x+1)
力ずくで9回かけ算するのが，計算力のあかしだ！
x²+1 に注目して置き換えを利用！
ヒント
(x²+x+1)(x²-x+1)
={(x²+1)+x}{(x²+1)-x}
=(x²+1)²-x²
=x⁴+2x²+1-x²
=x⁴+x²+1
もちろん，力ずくで展開してもいいけど，発展性がない
この先，計算力は上がらないよ
そのやり方は恥ずかしいことと心得よ！
問題 9選択式
次の式を展開する際のお勧めの考え方は。その後展開せよ。（答えはヒントに記載）
(a+b)²(a-b)²
力ずくで展開するのがかっこいい！
掛ける順番を変えてスマートに！
ヒント
x²y²=(xy)² だから
(a+b)²(a-b)²
={(a+b)(a-b)}²
=(a²-b²)²
=a⁴-2a²b²+b⁴
問題 10選択式
次の式を因数分解する際のお勧めの考え方は。その後因数分解せよ。（答えはヒントに記載）
2a(x-2y) + 4b(2y-x)
展開しないでこの式のまま工夫できないか考えてみよう！
よく分からないから，とりあえず一度展開して，それから因数分解！
ヒント
2a(x-2y)+4b(2y-x)
=2a(x-2y)-4b(x-2y)
=(x-2y)(2a-4b)
=2(x-2y)(a-2b)
問題 11OX 問題
中学校で習った因数分解の公式
a²+2ab+b²=(a+b)²
a²-2ab+b²=(a-b)²
a²-b²=(a+b)(a-b)
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
さらに，高校で習ったのが
acx²+(ad+bc)x+bc=(ax+b)(cx+d)
問題 12選択式
次の式を因数分解せよ。
（1）2x²-3x+1
（2）3x²+11x+6
（1） (2x-1)(x-1) （2） (3x+2)(x+3)
（1） (2x+1)(x+1) （2） (3x-2)(x-3)
ヒント
たすき掛けで求めてもいいし
次のようにあらかじめ数字を書いて予想してもよい
（1）2x²-3x+1
掛けて +2，+1 になる2数から，とりあえず (2x 1)(x 1) と書いてみる。
でもこれでは，外側同士の積（2×1）と内側同士の積（1×1）の和は+3となり，問題の -3 にはならない
そこで (2x-1)(x-1) とすると，展開した時に問題の式が出てくるね
問題 13選択式
次の式を因数分解せよ。正しい答えを選べ。（答えは一つとは限らない）
（1）(x+y)² + 2(x+y) - 15
（2）x⁴ - 3x² - 4
（1）x+y=A とおいて A²+2A-15と考え (A+5)(A-3)=(x+y+5)(x+y-3)
（2）x²=A とおいて A²-3A-4 と考え (A-4)(A+1)=(x²-4)(x²+1)
ヒント
（2）は最後の x²-4 がまだ因数分解できるね
だから
(x+2)(x-2)(x²+1)
問題 14選択式
次の式を因数分解する際のお勧めの考え方は。その後因数分解せよ。（答えはヒントに記載）
a²+b²+2bc+2ca+2ab
適当に組み合わせてみて，因数分解できたらラッキー！
とりあえず，次数の低い文字で整理してみる！
ヒント
aについては2次式，bについても2次式，cについては1次式だから，cで整理すると
a²+b²+2bc+2ca+2ab
=c(2b+2a)+(a²+b²+2ab)
=c×2(b+a)+(a²+2ab+b²)
=2c(a+b)+(a+b)²
=(a+b){2c+(a+b)}
=(a+b)(a+b+2c)
適当に組み合わせてできるかどうかは，運次第だから，「次数の低い文字で整理」というポリシーを持っておこうね！
問題 15選択式
次の式を因数分解する際のお勧めの考え方は。その後因数分解せよ。（答えはヒントに記載）
a²-b²+4a+2b+3
適当に組み合わせてみて，因数分解できたらラッキー！
とりあえず，次数の低い文字で整理してみる！
ヒント
aについては2次式，bについても2次式だから，aかbどちらで整理してもよい
とりあえず，aで整理してみると
a²-b²+4a+2b+3
=a²+4a+(-b²+2b+3)
=a²+4a-(b²-2b-3)
=a²+4a-(b-3)(b+1)
={a-(b-3)}{a+(b+1)}
=(a-b+3)(a+b+1)
問題 16選択式
次の式を因数分解する際のお勧めの考え方は。その後因数分解せよ。（答えはヒントに記載）
a(b²-c²)+b(c²-a²)+c(a²-b²)
適当に組み合わせてみて，因数分解できたらラッキー！
とりあえず，次数の低い文字で整理してみる！
ヒント
a，b，cどれについても2次式だから，どれで整理してもよい
aで整理してみると
a(b²-c²)+b(c²-a²)+c(a²-b²)
=a²(-b+c)+a(b²-c²)+bc²-cb² → a²，a，aを含まないもの，でまとめる
=a²(c-b)+a(b+c)(b-c)+bc(c-b)
=a²(c-b)-a(b+c)(c-b)+bc(c-b)
=(c-b){a²-a(b+c)+bc}
=(c-b)(a-b)(a-c) → ここでやめてもいい，しかし，数学的には美しくないので大抵の模範解答は
=-(b-c)(a-b)×{-(c-a)}
=+(a-b)(b-c)(c-a) となっているはず
問題 17OX 問題
数学Ⅱの内容だが 3次式の展開公式
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+3b³
(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-3b³
(a+b)(a²-ab+b²)=a³+b³
(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³
左辺と右辺を入れ替えたら因数分解公式
a³±3a²b+3ab²±3b³=(a±b)³
a³±b³=(a±b)(a²∓ab+b²)
問題 18選択式
次の式を展開せよ。
（1）(2x-3)³
（2）(x+1)(x²-x+1)
（1） (2x-1)(x-1) （2） (3x+2)(x+3)
（1）(2x)³-3(2x)²(3)+3(2x)(3)²-3³=8x³-36x²+54x-27 （2）x³+1³=x³+1
（1）(2x)³+3(2x)²(3)+3(2x)(3)²+3³=8x³+36x²+54x+27 （2）x³-1³=x³-1
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