数II 11. 三角関数（1）角の拡張，三角関数，グラフ⭐

Question 1

【弧度法の定義】⭐

角度の表し方は 1種類ではない
・ 度を単位とする表し方は度数法
・ 円において【弧の長さℓと半径の長さrが等しくなる時の中心角】を1ラジアン，1弧度と言い，ラジアンを単位とする角度の表し方が弧度法
つまり，ℓ ÷ r = θ

例
円の半径をrとすると，半円の弧の長さは πr だから，中心角θはラジアンで表すと
θ=ℓ÷r=πr÷r=π
すなわち，180°=π である

Accepted Answer

o

Question 2

【扇形の弧の長さと面積】⭐
半径 r​，中心角 ​θ[rad] の扇形の弧の長さ ℓ，面積 S​​​​について正しいものを選べ。（答えは一つとは限らない）

Accepted Answer

0

Accepted Answer

1

Accepted Answer

2

Question 3

【三角関数の定義】⭐
① 定義
x軸の正の部分を始線，動径OPを表す一般角をθ，OP=r，P(x, y) とすると
sin θ=y/r, cos θ=x/r, tan θ=y/x

② 単位円を用いた定義
角θの動径と単位円（原点を中心とする半径 1 の円）の交点を P(x, y)，直線OPと直線x=1の交点を T(1, m)とすると
y=sin θ, x=cos θ, m=tan θ

Accepted Answer

o

Question 4

【三角関数の相互関係】

tan θ = sin θ / cos θ …⭐

sin² θ + cos² θ = 1 …⭐

tan² θ +1 = 1/cos² θ

Accepted Answer

o

Question 5

【sin θ，cos θ の対称式】⭐
sin θ + cos θ
sin θ cos θ
で表す！

かくれた条件 sin² θ + cos² θ = 1 を忘れるな！

Accepted Answer

o

Question 6

sin θ + cos θ = 1/2 の時，sin θ cos θ の値を求めよ。

Accepted Answer

1

Question 7

前問の答え sin θ cos θ = -3/8 を利用して次の式の値を求めよ。

sin θ + cos θ = 1/2 の時，sin³ θ + cos³ θ の式の値

答え
sin³θ+cos³θ
=(sinθ+cosθ)(sin²θ-sinθcosθ+cos²θ)
=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
=1/2 {1-(-3/8)}
=11/16

Accepted Answer

o

Question 8

次の証明の仕方は正しいか。

等式 tan θ + 1/tan θ = 1/sin θ cos θ

答え
左辺を整理して右辺になることを示す
つまり

tanθ+1/tanθ
=sinθ/cosθ+cosθ/sinθ
=sin²θ/sinθcosθ+cos²θ/sinθcosθ
=(sin²θ+cos²θ)/sinθcosθ
=1/sinθcosθ

Accepted Answer

o

Question 9

図のように，一般角 θ の動径と単位円（半径が1である円）の交点を P とすると
sin θ = b
cos θ = a
だから

sin θ の値は，Pの y座標に等しい
cos θ の値は，Pの x座標に等しい

Accepted Answer

o

Question 10

図のグラフはどれか。

Accepted Answer

0

Question 11

図のグラフはどれか。

Accepted Answer

1

Question 12

図のように，一般角 θ の動径と単位円（半径が1である円）の交点を P とし，直線OPと直線 x=1 の交点を T(1,m) とすると
tan θ = m
だから

tan θ の値は，Tの y座標に等しい

Accepted Answer

o

Question 13

図のグラフはどれか。

Accepted Answer

2

Question 14

三角関数のグラフの描き方

1. y=sin α，y=cos α，y=tan α のグラフをイメージし，周期，最大値と最小値，漸近線の有無を考える
2. 上の式で
・三角関数を何倍かしている→最大値と最小値が変わるだけ
・θを何倍かしている→角度の部分をαと考え，αの時に周期が2πあるいはπだから，θの時の周期は？またα=0の時yは？
3. 1.と同じグラフを描き，目盛りだけを変える！

Accepted Answer

o

Question 15

次の関数のグラフの描き方として正しいのはどれか。

y = 2 sin θ

Accepted Answer

2

Question 16

次の関数のグラフの描き方として正しいのはどれか。

y = sin 2θ

Accepted Answer

0

Question 17

次の関数のグラフの描き方として正しいのはどれか。

y = sin (θ - π/3)

この時，グラフがy軸と交わる点の値も書いておこう
つまり，θ=0の時 y=sin (-π/3)=-√3/2

Accepted Answer

0

Question 18

次の関数のグラフの描き方は正しいか。

y = 2 tan θ

答え
tanθを2倍しているだけ
→普通の y=tan θ のグラフを描く，漸近線 θ=π/2やθ=-π/2も描く
→1点，例えばθ=π/4の時，y=2 の値を書く

Accepted Answer

o

Question 19

次の関数のグラフの描き方は正しいか。

y = tan θ/2

答え
θを1/2倍しているだけ
→周期は2π（θ/2をひとまとめのαと考えて，αの時にタンジェントの周期はπだからθ/2=πよりθ=2π）
→普通の y=tan θ のグラフを描く，漸近線 θ=πやθ=-πも描く
→1点，例えばθ=π/2の時，y=1 の値を書く

Accepted Answer

o

Question 20

次の関数の周期，最大値と最小値，y軸との交点の座標を答えよ。

y = 2cos (θ/2 - π/4)

Accepted Answer

1

問題 1

OX

問題 2

選択式

【扇形の弧の長さと面積】⭐ 半径 r $，中心角$ θ[rad] の扇形の弧の長さ ℓ，面積 Sについて正しいものを選べ。（答えは一つとは限らない）

問題 3

OX

問題 4

OX

【三角関数の相互関係】 tan θ = sin θ / cos θ …⭐ sin² θ + cos² θ = 1 …⭐ tan² θ +1 = 1/cos² θ

次のクイズ

問題 1

OX

問題 2

選択式

【扇形の弧の長さと面積】⭐ 半径 r，中心角，中心角 ，中心角θ[rad] の扇形の弧の長さ ℓ，面積 S​​​​について正しいものを選べ。（答えは一つとは限らない）

問題 3

OX

問題 4

OX

【三角関数の相互関係】 tan θ = sin θ / cos θ …⭐ sin² θ + cos² θ = 1 …⭐ tan² θ +1 = 1/cos² θ

次のクイズ

【扇形の弧の長さと面積】⭐ 半径 r $，中心角$ θ[rad] の扇形の弧の長さ ℓ，面積 Sについて正しいものを選べ。（答えは一つとは限らない）