【軌跡】⭐ 軌跡とは，【与えられた条件を満たす点，または，満たしながら動く点】がえがく図形のこと 動く点 → (s, t) とおく 軌跡 → (x, y) とおく s, t を消去して，x, y だけの式にする！ それが軌跡の方程式 その図形上の点が条件を満たしているか確かめる

2点 A(0, 2), B(4, 0) に対して，AP=BP を満たす点P の軌跡を求めよ。 答え 直線 2x-y-3=0

2点 A(0, 0), B(5, 0) からの距離の比が 2:3 である点P の軌跡を求めよ。 答え 点(-4, 0) を中心とする半径 6の円 2点 A, B からの距離の比が m:n である点P の軌跡 (m>0, n>0) [1] m=n の時，線分AB の垂直二等分線 [2] m≠m の時，線分ABを m:n に内分する点と，外分する点を直径の両端とする円【アポロニウスの円】

点Q が円 x²+y²=4 上を動く時，点 A(4, 0) と点Qを結ぶ線分 AQ の中点P の軌跡を求めよ。 答え 点(2, 0) を中心とする半径 1の円

【直線と領域】⭐ 直線ℓ の式を y=mx+n とすると以下の式の表す領域は y>mx+n 直線ℓ の上側の部分 y<mx+n 直線ℓ の下側の部分 ともに境界線を含まない （≧や≦なら境界線を含む） これらは暗記ではなく式の意味から明らか！ y=mx+n は直線の式だから y>mx+n → y が それより大きい → y は上に行くほど大きくなる → 直線より上側

図の色のついた部分の領域を表す式を書け。ただし，境界線を含まない。（答えは一つとは限らない）

• 2x+y-3<0
• y<-2x+3
• 2x+y-3>0
• y>-2x+3
• 2x+y-3≦0

図の色のついた部分の領域を表す式を書け。ただし，境界線を含む。

• x>2
• x<2
• x≧2
• x≦2

【円と領域】⭐ 円C の式を (x-a)²+(y-b)²=r² とすると (x-a)²+(y-b)²<r² 円C の内部 (x-a)²+(y-b)²>r² 円C の外部 ともに境界線を含まない これらは暗記ではなく式の意味から明らか！ (x-a)²+(y-b)² は点(a, b) からの距離だから → r が それより小さい → その点は半径r まで到達しない → 円Cの内部

図の色のついた部分の領域を表す式を書け。ただし，境界線を含む。（答えは一つとは限らない）

• (x+2)²+(y-1)²≦5
• (x+2)²+(y-1)²≧5
• x²+y²+4x-2y≦0
• x²+y²+4x-2y≧0
• (x-2)²+(y+1)²≦√5

図の網掛けが重なった部分の領域を表す連立不等式を書け。ただし，境界線を含まない。

• x+y-2<0, x-y<0
• x+y-2>0, x-y>0
• x+y-2<0, x-y>0
• x+y-2>0, x-y<0

図の網掛けが重なった部分の領域を表す連立不等式を書け。ただし，境界線を含まない。

• x²+y²>25, 2x+y>4
• x²+y²>25, 2x+y<4
• x²+y²<25, 2x+y>4
• x²+y²<25, 2x+y<4

次の連立方程式の表す領域のはどれか。また，境界線について正しいのはどれか。 x² + y² ≦ 9 x - y < 2

• （ア）ただし，境界線を含む。
• （イ）ただし，境界線は，円周および直線を含み，直線と円周の交点を含まない。
• （ウ）ただし，境界線は，円周を含み，直線および，直線と円周の交点を含まない。
• （ア）（イ）（ウ）いずれも正しくない。

【連立不等式の表す領域 A×B>0 など】⭐ A×B>0 ↓ AとBの積が正だから，AとBは同符号，つまり，プラスとプラスの場合かマイナスとマイナス ↓ A>0, B>0 または A<0, B<0 ↓ それぞれの不等式の表す領域の共通部分を解とする A×B<0 ↓ AとBの積が負だから，AとBは異符号，つまり，プラスとイナス ↓ A>0, B<0 または A<0, B>0

図の色のついた部分の領域を表す連立不等式を書け。ただし，境界線を含まない。（答えは一つとは限らない）

• A. (x-y+1)(x+y-1)<0
• B. (x-y+1)(x+y-1)>0
• C. x-y+1<0 かつ x+y-1>0
• D. x-y+1>0 かつ x+y-1<0
• E. x-y+1<0 かつ x+y-1<0

x, y が y≧x, y≦2x, x+y≦2 を満たす時，2x+yの最大値・最小値は？ 答え 領域は図の境界を含む斜線部分 2x+y=kとおくと y=-2x+k これは傾き-2でkの値によって上下に平行移動する直線 よって，2x+yつまりkの 最小値は原点を通る時だから k=2･0+0=0 (x=0, y=0) 最大値は (1, 1)を通る時だから k=2･1+1=3 (x=1, y=1)

【領域を利用した証明法】 x²+y²<1 ならば x²+y²<2x+3 であることを証明せよ。 答え 不等式 x²+y²<1 の表す領域をP，不等式 x²+y²<2x+3 の表す領域をQ とする。 Pは原点を中心とし，半径1の円の内部である。 Qは点(1,0)を中心とし，半径2の円の内部である。 図から P⊂Q である。 よって， x²+y²<1 ならば x²+y²<2x+3 である。

【放物線と領域】⭐ 放物線 y=x² とすると以下の式の表す領域は y>x² 放物線の上側の部分：P y<x² 放物線の下側の部分：Q ともに境界線を含まない （≧や≦なら境界線を含む） これらは暗記ではなく式の意味から明らか！ y=x² は放物線の式だから y>x² → y が それより大きい → y は上に行くほど大きくなる → 放物線より上側 ただし，境界線を含まない

点(3, 1) を通り 円 x²+y²=5 に接する直線の方程式を求めよ，の解き方は？（ヒントも） 【円の接線の求め方：パターン1】接点を(x₁, y₁) とおいて⭐ 【中心が原点の円 x²+y²=r² 上の点(x₁, y₁) における接線 x₁x+y₁y=r²】を利用 接線だけでなく接点も求める時に適する！ ただし，中心が原点の時の式しか x₁x+y₁y=r² は使えないことに注意！

点(3, 1) を通り 円 x²+y²=5 に接する直線の方程式を求めよ，の解き方は？ 【円の接線の求め方：パターン2】傾きをmとおいて⭐ 【判別式=0】を利用 判別式を利用した解き方で，放物線など，円以外の 2次曲線にも広く使える！ やや計算が面倒なのが難点だが，利用範囲は広い！

点(3, 1) を通り 円 x²+y²=5 に接する直線の方程式を求めよ，の解き方は？ 【円の接線の求め方：パターン3】 【中心と接線との距離=半径】を利用⭐イチオシ！ 点と直線の距離の公式【点P(x₁, y₁) と直線ℓ ax+by+c=0 の距離 d は d=|ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)】を使う鮮やかな解法！ （今回は原点が中心だが）原点以外に中心をもつ円の時に特に有効！