数II 10. 図形と方程式（4）軌跡と領域⭐

Question 1

【軌跡】⭐
軌跡とは，【与えられた条件を満たす点，または，満たしながら動く点】がえがく図形のこと

動く点 → (s, t) とおく
軌跡 → (x, y) とおく

s, t を消去して，x, y だけの式にする！
それが軌跡の方程式

その図形上の点が条件を満たしているか確かめる

Accepted Answer

o

Question 2

2点 A(0, 2), B(4, 0) に対して，AP=BP を満たす点P の軌跡を求めよ。

答え

直線 2x-y-3=0

Accepted Answer

o

Question 3

2点 A(0, 0), B(5, 0) からの距離の比が 2:3 である点P の軌跡を求めよ。

答え
点(-4, 0) を中心とする半径 6の円

2点 A, B からの距離の比が m:n である点P の軌跡 (m>0, n>0) 
[1] m=n の時，線分AB の垂直二等分線
[2] m≠m の時，線分ABを m:n に内分する点と，外分する点を直径の両端とする円【アポロニウスの円】

Accepted Answer

o

Question 4

点Q が円 x²+y²=4 上を動く時，点 A(4, 0) と点Qを結ぶ線分 AQ の中点P の軌跡を求めよ。

答え
点(2, 0) を中心とする半径 1の円

Accepted Answer

o

Question 5

【直線と領域】⭐
直線ℓ の式を y=mx+n とすると以下の式の表す領域は

y>mx+n
直線ℓ の上側の部分

y<mx+n
直線ℓ の下側の部分

ともに境界線を含まない
（≧や≦なら境界線を含む）

これらは暗記ではなく式の意味から明らか！
y=mx+n は直線の式だから
y>mx+n
→ y が それより大きい
→ y は上に行くほど大きくなる
→ 直線より上側

Accepted Answer

o

Question 6

図の色のついた部分の領域を表す式を書け。ただし，境界線を含まない。（答えは一つとは限らない）

Accepted Answer

0

Accepted Answer

1

Question 7

図の色のついた部分の領域を表す式を書け。ただし，境界線を含む。

Accepted Answer

2

Question 8

【円と領域】⭐
円C の式を (x-a)²+(y-b)²=r² とすると

(x-a)²+(y-b)²<r²
円C の内部

(x-a)²+(y-b)²>r²
円C の外部

ともに境界線を含まない

これらは暗記ではなく式の意味から明らか！
(x-a)²+(y-b)² は点(a, b) からの距離だから
→ r が それより小さい
→ その点は半径r まで到達しない
→ 円Cの内部

Accepted Answer

o

Question 9

図の色のついた部分の領域を表す式を書け。ただし，境界線を含む。（答えは一つとは限らない）

Accepted Answer

0

Accepted Answer

2

Question 10

図の網掛けが重なった部分の領域を表す連立不等式を書け。ただし，境界線を含まない。

Accepted Answer

3

Question 11

図の網掛けが重なった部分の領域を表す連立不等式を書け。ただし，境界線を含まない。

Accepted Answer

3

Question 12

次の連立方程式の表す領域のはどれか。また，境界線について正しいのはどれか。

x² + y² ≦ 9

x - y < 2

Accepted Answer

2

Question 13

【連立不等式の表す領域 A×B>0 など】⭐ A×B>0 ↓ AとBの積が正だから，AとBは同符号，つまり，プラスとプラスの場合かマイナスとマイナス ↓ A>0, B>0 または A<0, B<0 ↓ それぞれの不等式の表す領域の共通部分を解とする A×B<0 ↓ AとBの積が負だから，AとBは異符号，つまり，プラスとイナス ↓ A>0, B<0 または A<0, B>0

Accepted Answer

o

Question 14

図の色のついた部分の領域を表す連立不等式を書け。ただし，境界線を含まない。（答えは一つとは限らない）

Accepted Answer

0

Accepted Answer

2

Accepted Answer

3

Question 15

x, y が y≧x, y≦2x, x+y≦2 を満たす時，2x+yの最大値・最小値は？

答え
領域は図の境界を含む斜線部分

2x+y=kとおくと y=-2x+k
これは傾き-2でkの値によって上下に平行移動する直線

よって，2x+yつまりkの
最小値は原点を通る時だから k=2･0+0=0 (x=0, y=0)
最大値は (1, 1)を通る時だから k=2･1+1=3 (x=1, y=1)

Accepted Answer

o

Question 16

【領域を利用した証明法】
x²+y²<1 ならば x²+y²<2x+3 であることを証明せよ。

答え
不等式 x²+y²<1 の表す領域をP，不等式 x²+y²<2x+3 の表す領域をQ とする。
Pは原点を中心とし，半径1の円の内部である。
Qは点(1,0)を中心とし，半径2の円の内部である。
図から P⊂Q である。
よって，
x²+y²<1 ならば x²+y²<2x+3 である。

Accepted Answer

o

Question 17

【放物線と領域】⭐
放物線 y=x² とすると以下の式の表す領域は

y>x²
放物線の上側の部分：P

y<x²
放物線の下側の部分：Q

ともに境界線を含まない
（≧や≦なら境界線を含む）

これらは暗記ではなく式の意味から明らか！
y=x² は放物線の式だから
y>x²
→ y が それより大きい
→ y は上に行くほど大きくなる
→ 放物線より上側

ただし，境界線を含まない

Accepted Answer

o

Question 18

点(3, 1) を通り 円 x²+y²=5 に接する直線の方程式を求めよ，の解き方は？（ヒントも）

【円の接線の求め方：パターン1】接点を(x₁, y₁) とおいて⭐
【中心が原点の円 x²+y²=r² 上の点(x₁, y₁) における接線 x₁x+y₁y=r²】を利用

接線だけでなく接点も求める時に適する！
ただし，中心が原点の時の式しか x₁x+y₁y=r² は使えないことに注意！

Accepted Answer

o

Question 19

点(3, 1) を通り 円 x²+y²=5 に接する直線の方程式を求めよ，の解き方は？

【円の接線の求め方：パターン2】傾きをmとおいて⭐
【判別式=0】を利用

判別式を利用した解き方で，放物線など，円以外の 2次曲線にも広く使える！
やや計算が面倒なのが難点だが，利用範囲は広い！

Accepted Answer

o

Question 20

点(3, 1) を通り 円 x²+y²=5 に接する直線の方程式を求めよ，の解き方は？

【円の接線の求め方：パターン3】
【中心と接線との距離=半径】を利用⭐イチオシ！

点と直線の距離の公式【点P(x₁, y₁) と直線ℓ ax+by+c=0 の距離 d は
d=|ax₁+by₁+c|/√(a²+b²)】を使う鮮やかな解法！
（今回は原点が中心だが）原点以外に中心をもつ円の時に特に有効！

Accepted Answer

o