数II 09. 図形と方程式（3）円の方程式，直線，2円⭐

Question 1

【円の方程式】⭐
点C(a, b) を中心とする半径 r の円を考える

円上の点を P(x, y) とすると
CP=r すなわち CP²=r²
よって
(x-a)²+(y-b)²=r²

特に原点を中心とする円は
x²+y²=r²

Accepted Answer

o

Question 2

点(4, -3) を中心とする半径5 の円の方程式を求めよ。

Accepted Answer

2

Question 3

2点A(3, 4), B(5, -2) を直径とする円Cの方程式を求めよ。また，中心の座標と半径を答えよ。

中心は線分AB の中点だから
{(3+5)/2, (4-2)/2}=(4, 1)

また，
r²=CA²
=(4-3)²+(1-4)²
=1+9
=10

だから，求める円の方程式は
(x-4)²+(y-1)²=10
中心の座標は (4, 1)
半径は √10

Accepted Answer

o

Question 4

【円の方程式】⭐
計算がラクな形を選べばいい！

● 一般形

x²+y²+lx+my+n=0（x, y の2次式で，x²とy²の係数が等しく，xy の項がない時は円！）

● 基本形（グラフが描ける形）

(x-a)² + (y-b)² = r² （中心の座標 (a, b)，半径 r ）

Accepted Answer

o

Question 5

次の方程式はどのような図形を表すか。

x²+y²-6x+8y=0

Accepted Answer

1

Question 6

次の 3点を通る円の方程式を求めよ。

A(3, 1)
B(6, -8)
C(-2, -4)

Accepted Answer

x²+y²-6x+8y=0

Question 7

【円と直線の共有点（1）判別式】⭐
● 2直線の共有点はそれらの方程式を連立させた連立方程式の解である。

● 同様に円と直線の共有点もそれらの方程式を連立させた連立方程式の解である。
⇒ 判別式 D とすると
D>0，異なる 2つの実数解なら，共有点は 2個→異なる 2点で交わる
D=0，重解なら，共有点は 1個→接する
D<0，虚数解なら，共有点は 0個→共有点をもたない

Accepted Answer

o

Question 8

円 x²+y²=5 …① は次の直線と共有点をもつか。もつ場合には，その点の座標を求めよ。

（1）y=x+1

（2）y=-2x+5

（3）y=2x-6

Accepted Answer

1

Question 9

円 x²+2x+y²=1 …① と
直線 y=mx-m …② が
共有点をもつ時，定数 m の値の範囲を求めよ。

②を①に代入して
x²+2x+(mx-m)²=1
(m²+1)x²+2(1-m²)x+m²-1=0
共有点をもつのは判別式 D/4≧0 だから
D/4=-2(m²-1)=-2(m+1)(m-1) ≧0 となるのは
2(m+1)(m-1) ≦0
よって
-1≦m≦1

Accepted Answer

o

Question 10

【円と直線の共有点（2）中心と直線の距離】⭐
● 半径 r の円の中心C と直線ℓ の距離を d とすると
d < r → 異なる 2点で交わる
d = r  → 接する
d > r → 共有点をもたない

Accepted Answer

o

Question 11

円 x²+2x+y²=1 …① と
直線 y=mx-m …② が
共有点をもつ時，定数 m の値の範囲を求めよ。

Accepted Answer

0

Question 12

半径 r の円 x²+y²=r² と直線 3x+y-10=0 が接する時，r の値を求めよ。

Accepted Answer

√10

Accepted Answer

r=√10

Question 13

【中心が原点である円の接線の方程式】⭐
円 x²+y²=r² 上の点P(x₁,y₁) における接線ℓ の方程式は

x₁x+y₁y=r²

Accepted Answer

o

Question 14

円 x²+y²=25 上の点 (3, -4) における接線の方程式を求めよ。

Accepted Answer

3x-4y=25

Question 15

点A(1, 3) から円 x²+y²=5 に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ。（答えは一つとは限らない）

Accepted Answer

0

Accepted Answer

1

Question 16

【2円の位置関係】数学Aで習ったね⭐ 2円の位置関係は 5つの場合があり，関係式は次のようになる。ただし，r₁>r₂ とする。半径の和，半径の差，中心間の距離を考える！（1）互いに外部にある：d>r₁+r₂ （2）外接する：d=r₁+r₂ （3）2点で交わる：r₁-r₂

Accepted Answer

o

Question 17

中心が点(4, 2) の円C₁ と，方程式が x²+y²=5 の円C₂ が外接する時，円C₁ の方程式を求めよ。

考え方
中心間の距離=半径の和

答え
C₁ の半径を r とする。
C₂ は中心が原点，半径が √5 の円である。

中心間の距離 d=√{(4-0)²+(2-0)²}=2√5
よって
2√5=r+√5
r=√5
ゆえに
C₁ の方程式は
(x-4)²+(y-2)²=5

Accepted Answer

o

Question 18

次の 2つの円の共有点の座標を求めよ。

x²+y²=5 …①
x²+y²-6x-2y+5=0 …②

考え方
● 2直線の共有点→連立方程式の解
● 円と直線の共有点→連立方程式の解
● 2円の共有点も連立方程式の解！

①-②より
6x+2y-10=0
y=-3x+5 …③
これを①に代入して
x=1 の時 y=2
x=2 の時 y=-1
だから
共有点は (1, 2), (2, -1)

Accepted Answer

o

Question 19

【2つの円の交点を通る図形】⭐

復習【直線と直線の交点を通る直線】は
(ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0 とおく！

同様に【円と円の交点を通る円】は
(x²+y²+...)+k(x²+y²+...)=0 とおく！
k=-1 の時は直線になる！【x²とy²の項が消えてなくなるから】

Accepted Answer

o

Question 20

2つの円
x²+y²-5=0 …① 
x²+y²-6x-2y+5=0 …② の2つの交点と
点(0, 3) を通る円の方程式を求めよ。

k を定数とすると
x²+y²-5+k(x²+y²-6x-2y+5)=0 …③ は①②の交点を通る図形を表している。
③が (0, 3) を通るから
0+9-5+k(0+9-0-6+5)=0
8k=-4
k=-1/2
③に代入し
x²+y²+6x+2y-15=0

Accepted Answer

o

問題 1

OX

【円の方程式】⭐ 点C(a, b) を中心とする半径 r の円を考える円上の点を P(x, y) とすると CP=r すなわち CP²=r² よって (x-a)²+(y-b)²=r² 特に原点を中心とする円は x²+y²=r²

問題 2

選択式

点(4, -3) を中心とする半径5 の円の方程式を求めよ。

問題 3

OX

問題 4

OX

【円の方程式】⭐ 計算がラクな形を選べばいい！ ● 一般形 x²+y²+lx+my+n=0（x, y の2次式で，x²とy²の係数が等しく，xy の項がない時は円！） ● 基本形（グラフが描ける形） (x-a)² + (y-b)² = r² （中心の座標 (a, b)，半径 r ）

次のクイズ

問題 1

OX

【円の方程式】⭐ 点C(a, b) を中心とする半径 r の円を考える 円上の点を P(x, y) とすると CP=r すなわち CP²=r² よって (x-a)²+(y-b)²=r² 特に原点を中心とする円は x²+y²=r²

問題 2

選択式

点(4, -3) を中心とする半径5 の円の方程式を求めよ。

問題 3

OX

問題 4

OX

【円の方程式】⭐ 計算がラクな形を選べばいい！ ● 一般形 x²+y²+lx+my+n=0（x, y の2次式で，x²とy²の係数が等しく，xy の項がない時は円！） ● 基本形（グラフが描ける形） (x-a)² + (y-b)² = r² （中心の座標 (a, b)，半径 r ）

次のクイズ

【円の方程式】⭐ 点C(a, b) を中心とする半径 r の円を考える円上の点を P(x, y) とすると CP=r すなわち CP²=r² よって (x-a)²+(y-b)²=r² 特に原点を中心とする円は x²+y²=r²