数II 06. 複素数と方程式（3）剰余の定理，高次方程式⭐

Question 1

下のような 3次方程式や 4次方程式を解くにはどうすればいい？

x³-7x²+6=0

6x⁴-11x³+2x²+5x-2=0

Accepted Answer

1

Question 2

剰余の定理を学ぶのはなぜ？

Accepted Answer

1

Question 3

x の多項式を x-2 で割った余りは
実際に割り算を計算してみないと分からない？

Accepted Answer

x

Question 4

【剰余の定理】⭐
多項式 P(x) を 1次式 x-α で割った時の余りは P(α) である

つまり，割り算しなくても余りは求められる！

理由：
例えば
13÷4=3…1 は
13=4･3+1 と表せる

同様に，多項式 P(x) を x-α で割った時の商を Q(x)，余りを R とすると
P(x) = (x-α)･Q(x) + R

ここで，両辺の x に α を代入すると
R=P(x)

Accepted Answer

o

Question 5

P(x)=x³+x²-3x-2 を x+1 で割った時の余りを商を求めずに答えよ。

Accepted Answer

1

Question 6

多項式 P(x)=x³+ax²+3x-2a を x-2 で割った時の余りが12であるという。定数 a の値を求めよ。

Accepted Answer

a=-1

Accepted Answer

-1

Question 7

多項式 P(x) を x-1 で割った時の余りが 5，x+2 で割った時の余りが -1 であるという。P(x) を (x-1)(x+2) で割った時の余りを求めよ。

Accepted Answer

2

Question 8

多項式 P(x) を 1次式 ax+b で割った時の余りが P(- b/a) になるのはなぜ？

商を Q(x)，余りを R とすると
P(x) = (ax+b)･Q(x) + R
ここで，ax+b=0 の解は - b/a

両辺の x に - b/a を代入すると
P(- b/a)={a(- b/a)+b}･Q(- b/a)+R
=0･Q(- b/a)+R
=R

つまり，R=P(- b/a)

Accepted Answer

o

Question 9

剰余の定理より
多項式 P(x) を 1次式 x-α で割った時の余りは P(α)

だから，もし余りが 0，つまり，P(α)=0 なら？

P(x) = (x-α)･Q(x) + 0
すなわち，P(x) は x-α で割り切れて，x-α を因数に持つ，つまり， 因数分解できている

これを何定理というか。

Accepted Answer

因数定理

Accepted Answer

因数

Question 10

【因数定理】⭐
多項式 P(x) が 1次式 x-α を因数にもつ ⇔ P(α)=0

因数定理の活用法：
（1）多項式=P(x) とおき，P=0 になる x の値 α を探す

【α の探し方：（マイナスも含む）
◎定数項の約数
◎Pの最高次の係数が 1 以外なら，最高次の係数の約数で定数項の約数で割ったもの】

（2）見つかった α を使って P(x) は x-α で割り切れる → 因数分解

Accepted Answer

o

Question 11

次の式を因数分解せよ。

x³+4x²+x-6
=(x-1)(x+2)(x+3)

Accepted Answer

o

Question 12

【組み立て除法】
割り算のほかに組み立て除法でも商と余りは求められる

例えば
(x³-4x²+x+6)÷(x+1) は

1    -4     1      6  L-1
       -1     5    -6
—↗—↗—↗——（それぞれ -1 を掛ける）
 1    -5    6    L0

Accepted Answer

o

Question 13

次の 3次方程式を解け。

x³-1=0

Accepted Answer

1

Question 14

x³=1 を解くと
x³-1=0
(x-1)(x²+x+1)=0 より
x=1, (-1±√3i)/2

つまり
「 1 の立方根（3乗根）は，1, (-1+√3i)/2, (-1-√3i)/2 の 3つ」⭐

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Accepted Answer

o

Question 15

次の 4次方程式を解け。

x⁴-x²-2=0
頭の中で x²=A とおいて
左辺を 因数分解して，(x²-2)(x²+1)=0
だから

Accepted Answer

1

Question 16

次の 3次方程式を解け。

x³-4x²+8=0

左辺=P(x) とおく
P(1)=1-4+8≠0 で失敗
P(-1)=-1-4+8≠0 で失敗
P(2)=8-16+8=0（P(x) は x-2 を因数にもつ）

だから P(x) を x-2 で割ると
P(x)=(x-2)(x²-2x-4)
よって P(x)=0 となるのは
x-2=0 または x²-2x-4=0
だから
x=2, 1±√5

Accepted Answer

o

Question 17

【3次方程式の解と係数の関係】⭐
ax³+bx²+cx+d=0 の 3つの解を α, β, γ とすると

α+β+γ = - b/a

αβ+βγ+γα = c/a

αβγ = - d/a

Accepted Answer

o

Question 18

3次方程式 x³-3x²+x+2=0 の 3つの解を α, β, γ とする時，α²+β²+γ² の値を求めよ。

Accepted Answer

7

Question 19

a, b は実数とする。3次方程式 x³-3x²+ax+b=0 が 1+2i を解にもつ時，実数 a, b の値を求めよ。また，他の解を求めよ。

a=7，b=-5，他の解は 1, 1-2i

Accepted Answer

o

Question 20

a, b は実数とする。3次方程式 x³-3x²+ax+b=0 が 1+2i を解にもつ時，実数 a, b の値を求めよ。また，他の解を求めよ。

この問題を
解と係数の関係から
解くことはできるか。

Accepted Answer

o