下のような 3次方程式や 4次方程式を解くにはどうすればいい？ x³-7x²+6=0 6x⁴-11x³+2x²+5x-2=0

• A. 適当に x に数字を代入してみる
• B. 左辺を因数分解する
• C. 解の公式を使う

剰余の定理を学ぶのはなぜ？

• A. 余りを計算できたらかっこいいから
• B. 余りを計算することができる → 余りを 0 にできる → 割り切れる → 因数分解ができる → 方程式が解ける から

x の多項式を x-2 で割った余りは 実際に割り算を計算してみないと分からない？

【剰余の定理】⭐ 多項式 P(x) を 1次式 x-α で割った時の余りは P(α) である つまり，割り算しなくても余りは求められる！ 理由： 例えば 13÷4=3…1 は 13=4･3+1 と表せる 同様に，多項式 P(x) を x-α で割った時の商を Q(x)，余りを R とすると P(x) = (x-α)･Q(x) + R ここで，両辺の x に α を代入すると R=P(x)

P(x)=x³+x²-3x-2 を x+1 で割った時の余りを商を求めずに答えよ。

• 1

多項式 P(x)=x³+ax²+3x-2a を x-2 で割った時の余りが12であるという。定数 a の値を求めよ。

• a=-1

• -1

多項式 P(x) を x-1 で割った時の余りが 5，x+2 で割った時の余りが -1 であるという。P(x) を (x-1)(x+2) で割った時の余りを求めよ。

• 余り同士を掛けて -5
• 余り同士を足して 4
• (x-1)(x+2) は 2次式だから，2次式で割った余りは 1次式か定数になる。よって余りを ax+b とおいて剰余の定理を使うと，2x+3

多項式 P(x) を 1次式 ax+b で割った時の余りが P(- b/a) になるのはなぜ？ 商を Q(x)，余りを R とすると P(x) = (ax+b)･Q(x) + R ここで，ax+b=0 の解は - b/a 両辺の x に - b/a を代入すると P(- b/a)={a(- b/a)+b}･Q(- b/a)+R =0･Q(- b/a)+R =R つまり，R=P(- b/a)

剰余の定理より 多項式 P(x) を 1次式 x-α で割った時の余りは P(α) だから，もし余りが 0，つまり，P(α)=0 なら？ P(x) = (x-α)･Q(x) + 0 すなわち，P(x) は x-α で割り切れて，x-α を因数に持つ，つまり， 因数分解できている これを何定理というか。

• 因数定理

• 因数

【因数定理】⭐ 多項式 P(x) が 1次式 x-α を因数にもつ ⇔ P(α)=0 因数定理の活用法： （1）多項式=P(x) とおき，P=0 になる x の値 α を探す 【α の探し方：（マイナスも含む） ◎定数項の約数 ◎Pの最高次の係数が 1 以外なら，最高次の係数の約数で定数項の約数で割ったもの】 （2）見つかった α を使って P(x) は x-α で割り切れる → 因数分解

次の式を因数分解せよ。 x³+4x²+x-6 =(x-1)(x+2)(x+3)

【組み立て除法】 割り算のほかに組み立て除法でも商と余りは求められる 例えば (x³-4x²+x+6)÷(x+1) は 1 -4 1 6 L-1 -1 5 -6 —↗—↗—↗——（それぞれ -1 を掛ける） 1 -5 6 L0

次の 3次方程式を解け。 x³-1=0

• -1 を移項して，x³=1 より x=1
• x³-1 を 因数分解して，(x-1)(x²+x+1)=0。次に x²-x+1=0 を解の公式を用いて解くと x=1, x=(-1±√3 i)/2

x³=1 を解くと x³-1=0 (x-1)(x²+x+1)=0 より x=1, (-1±√3i)/2 つまり 「 1 の立方根（3乗根）は，1, (-1+√3i)/2, (-1-√3i)/2 の 3つ」⭐ この続きはヒントを見てね

次の 4次方程式を解け。 x⁴-x²-2=0 頭の中で x²=A とおいて 左辺を 因数分解して，(x²-2)(x²+1)=0 だから

• x²-2=0 より x=±√2
• x²-2=0 より x=±√2，x²+1=0 より x=±i，だから x=±√2, ±i

次の 3次方程式を解け。 x³-4x²+8=0 左辺=P(x) とおく P(1)=1-4+8≠0 で失敗 P(-1)=-1-4+8≠0 で失敗 P(2)=8-16+8=0（P(x) は x-2 を因数にもつ） だから P(x) を x-2 で割ると P(x)=(x-2)(x²-2x-4) よって P(x)=0 となるのは x-2=0 または x²-2x-4=0 だから x=2, 1±√5

【3次方程式の解と係数の関係】⭐ ax³+bx²+cx+d=0 の 3つの解を α, β, γ とすると α+β+γ = - b/a αβ+βγ+γα = c/a αβγ = - d/a

3次方程式 x³-3x²+x+2=0 の 3つの解を α, β, γ とする時，α²+β²+γ² の値を求めよ。

• 7

a, b は実数とする。3次方程式 x³-3x²+ax+b=0 が 1+2i を解にもつ時，実数 a, b の値を求めよ。また，他の解を求めよ。 a=7，b=-5，他の解は 1, 1-2i

a, b は実数とする。3次方程式 x³-3x²+ax+b=0 が 1+2i を解にもつ時，実数 a, b の値を求めよ。また，他の解を求めよ。 この問題を 解と係数の関係から 解くことはできるか。