数II 05. 複素数と方程式（2）解と係数の関係⭐

Question 1

2次方程式の解を求めなくても
方程式を見ただけで，2つの解を
足したらいくつか，掛けたらいくつかを
知ることはできる？

Accepted Answer

o

Question 2

【解と係数の関係】⭐
2次方程式 ax²+bx+c=0 の解を α, β とする時
D=b²-4ac とすると

和 α+β
= (-b+√D)/2a + (-b-√D)/2a
= -2b/2a
= -b/a

積 αβ
= (-b+√D)/2a × (-b-√D)/2a
= {(-b)²-D}/(4a²)
= 4ac/4a²
= c/a

またこれは，α=β，つまり，重解の時も成り立つ

Accepted Answer

o

Question 3

2次方程式 2x²+x-6=0 の 2つの解を α, β とする時，次の値を 5秒で答えよ。

（1）α+β

（2）αβ

Accepted Answer

1

Question 4

2次方程式 x²-3x+4=0 の 2つの解を α, β とする時，次の値を答えよ。

（1）α²+β²

（2）α³+β³

（3）β/α + α/β

（4）(α-β)²

答え
（1）α²+β²=1
（2）α³+β³=-9
（3）β/α + α/β=1/4
（4）(α-β)²=-7

Accepted Answer

o

Question 5

2次方程式 x²-12x+m=0 において，1つの解が他の解の 2倍である時，定数 m の値と 2つの解を求めよ。

答え
m=32
2つの解は 4, 8

Accepted Answer

o

Question 6

2次方程式 x²-12x+m=0 において，1つの解が他の解の 2乗である時，定数 m の値と 2つの解を求めよ。

答え
m=-64，その時，2つの解は -4 と 16
また
m=27，その時，2つの解は 3 と 9

Accepted Answer

o

Question 7

【2次式の因数分解】⭐（ヒントも見てね）
係数が全て実数である 2次式がある。
その時，イコール 0 とおいて2次方程式の解を求めれば，その 2次式は複素数の範囲で必ず 1次式の積に因数分解できる。

これは正しいか？

Accepted Answer

o

Question 8

次の 2次方程式を，複素数の範囲で因数分解せよ。

2x²-2x-1

答え
2x²-2x-1=0 とおくと
x=(1±√3)/2

よって

2x²-2x-1
=2{x-(1+√3)/2}{x-(1-√3)/2}

Accepted Answer

o

Question 9

x⁴-64 を有理数の範囲で因数分解せよ。

Accepted Answer

0

Question 10

x⁴-64 を実数の範囲で因数分解せよ。

Accepted Answer

1

Question 11

x⁴-64 を複素数の範囲で因数分解せよ。

Accepted Answer

2

Question 12

【2次方程式の作成】⭐（ヒントも見てね）
●と■を解とする 2次方程式はいくつも作れるが，そのうちの 1つは
x²-(●+■)x+●･■=0

Accepted Answer

o

Question 13

2数 3+i，3-i を解とする 2次方程式を 1つ作れ。

Accepted Answer

x²-6x+10=0

Accepted Answer

x^2-6x+10=0

Question 14

和が 2，積が 3であるような 2数を求めよ。

答え
求める 2数は，次の 2次方程式の解である。
x²-2x+3=0
これを解くと，x=1±√2i
だから，求める 2数は，1+√2i と 1-√2i

実際にその和と積を求めてみると
和は 2
積は 1-2i²=1+2=3 になるね

Accepted Answer

o

Question 15

2次方程式 x²+2x+4=0 の 2つの解を α, β とする時，
2数 α-1, β-1 を解とする 2次方程式を 1つ作れ。

Accepted Answer

x²+4x+7=0

Accepted Answer

x^2+4x+7=0

Question 16

【2次方程式の実数解の符号】⭐（ヒントも見てね）
2つの実数 α, β について，次のことが成り立つ
● αもβも正 ⇔ αとβの和も正 かつ 積も正
● αもβも負 ⇔ αとβの和は負 かつ 積は正
● αもβも異符号 ⇔ αとβの積は負（和については何とも言えない）

だから，2次方程式 ax²+bx+c=0 の
2つの解 α, β の符号と判別式D
について，正しいものを 3つ選べ。

Accepted Answer

0

Accepted Answer

1

Accepted Answer

2

Question 17

2次方程式 x²-2mx-m+6=0 が，異なる 2つの正の解をもつ時，定数 m の値の範囲を求めよ。

この問題を解く時に必要な式を選べ。ただし，判別式を D/4，2つの解をα, β とする。（答えは一つとは限らない）

Accepted Answer

0

Accepted Answer

1

Accepted Answer

2

Question 18

次の A. B. は本質的には同じ問題になる。正しいか。

A. 2次方程式 x²-2mx-m+6=0 が，異なる 2つの正の解をもつ時，定数 m の値の範囲を求めよ。

B. 2次関数 y=x²-2mx-m+6 のグラフが x 軸の正の部分の異なる 2点で交わる時，定数 m の範囲を求めよ。

Accepted Answer

o

問題 1

OX

2次方程式の解を求めなくても方程式を見ただけで，2つの解を足したらいくつか，掛けたらいくつかを知ることはできる？

問題 2

OX

問題 3

選択式

2次方程式 2x²+x-6=0 の 2つの解を α, β とする時，次の値を 5秒で答えよ。（1）α+β （2）αβ

問題 4

OX

2次方程式 x²-3x+4=0 の 2つの解を α, β とする時，次の値を答えよ。（1）α²+β² （2）α³+β³ （3）β/α + α/β （4）(α-β)² 答え（1）α²+β²=1 （2）α³+β³=-9 （3）β/α + α/β=1/4 （4）(α-β)²=-7

次のクイズ