【正の数の平方の大小関係】⭐ a>0, b>0 の時 a>b ならば a²>b² a≧b ならば a²≧b² その逆も言える 【2数とも正であるならば，それぞれ2乗しても大小関係は変わらない！】 不等式の証明でも使える！ 【2数とも正なら，それぞれ2乗して差を作れば良い】⭐ a²-b²>0 を示せたら a>b が証明できる ただし，最初に a>0, b>0 であることを言っておく必要がある！

【不等式の証明方法】 不等式 A>B を証明するにはどうすればよいか。（答えは一つとは限らない）

• A-B を計算して >0 であることを示す
• 不等式の性質を使う ① a<b, b<cならばa<c（不等式の推移律） ② a<bならばa+c<b+c, a-c<b-c（両辺に同じものを足しても引いても大小関係は同じ） ③ a<b, c>0ならばac<bc, a/c<b/c（両辺に正のものを掛けても割っても大小関係は同じ） ④ a<b, c<0ならばac>bc, a/c>b/c（両辺に負のものを掛けたり割ったりすると大小関係が逆になる）
• A²-B² を計算して >0 であることを示す

a>0, b>0 の時，次の不等式を証明せよ。 √a + √b > √(a+b) a>0, b>0 だから，左辺も右辺も正であるならば，2乗して差を取って大小比較できるから・・・ √a>0, √b>0 なので √a+√b>0 また，√(a+b)>0 より (√a+√b)²-(√(a+b))² を計算して =(a+2√ab+b)-(a+b) =2√ab >0 よって √a+√b>√(a+b)

【絶対値】 実数 a の絶対値 |a| の定義で正しいのはどれか。（答えは一つとは限らない）

• a ≧ 0 のとき |a| = a
• a < 0 のとき |a| = -a

実数の絶対値について正しいのはどれか。（答えは一つとは限らない）

• A. |a| ≧ 0
• B. |a| ≧ a
• C. |a| ≧ -a
• D. |a|² = a²
• E. |ab| = |a||b|

b>0 の時，正しいのはどれか。（答えは一つとは限らない）

• |a| = b ならば a = ±b，その逆も成り立つ
• |a| < b ならば -b < a < b，その逆も成り立つ
• |a| > b ならば a < -b または b < a，その逆も成り立つ

次の不等式を証明せよ。 |a+b|≦|a|+|b| 両辺とも 0以上だから，2乗して差を取って大小比較 |a|+|b|≧0，|a|+|b|≧0 より (|a|+|b|)²-(|a+b|)² を計算して =(|a|²+2|a||b|+|b|²)-(a+b)² =2(|ab|-ab) ≧0 よって |a+b|²≦(|a|+|b|)² つまり， |a+b|≦|a|+|b| 等号成立は ab≧0

2つの実数 a, b について，(a+b)/2 を a と b の何と言うか。

• 相加平均

a>0, b>0 の時，√ab を a と b の何と言うか。

• 相乗平均

相加平均と相乗平均の大小関係は？ a>0, b>0 の時 (a + b)/2 - √ab =(a + b -2√ab)/2 =(√a-√b)²/2 ≧0 だから (a+b)/2 ≧ √ab 等号成立は √a-√b=0 すなわち a=b の時 よって，相加平均の方が相乗平均より大きい，または，等しい

【相加・相乗平均】⭐ a>0 の時，不等式 a + 1/a ≧ 2 を証明せよ。 a>0 の時， 1/a も正だから，相加・相乗平均の関係により (a + 1/a)/2 ≧ √(a × 1/a) よって，両辺を 2倍して a + 1/a ≧ 2√1=2 等号成立は，a=1/a つまり a²=1 ただし a>0 だから（a=-1 は不適だから） a=1 の時

【相加・相乗平均】⭐ 相加・相乗平均平均の関係を使うのは，不等式の証明だけではなく・・・ 【 2つの積が一定】なら 【 2つが正である】ことを確かめた上で 最大・最小の問題でも使える！ つまり (a+b)/2 ≧ √ab の両辺を 2倍した式 a + b ≧ 2√ab の右辺が最小値を表している！ （問題によっては最大値を表している）

x>0 の時，x + 1/x の最小値を求めよ。またその時の x の値も求めよ。

• x=1 で，最小値 2
• x=1 で，最小値 1

x<0 の時，x + 1/x の最大値を求めよ。またその時の x の値も求めよ。 ヒント： x と 1/x の積は，1 となり定数である。 しかし，x<0 であるし，1/x<0 だから，相加・相乗平均の関係は使えない と思うよね しかし！ x<0 の時，-x は正となり，1/(-x) も正となるから，相加・相乗平均の関係が使える！

• x=-1 で，最大値 -2
• 最大値はなし
• x=-1 で，最大値 -1

x>0 の時，(x + 1/x) (x + 4/x) の最小値を求めよ。

• A. 最小値は 8（x>0 より 1/x>0, 4/x>0 だから相加・相乗平均の関係より x+1/x≧2√(x×1/x)=2。x×4/x≧2√(x×4/x)=4 だから，辺々を掛けて与式=2×4=8 となる）
• B. 最小値は 9（まずは展開して整理すると x²+5+4/x² =x²+4/x²+5 ここで， x>0 より x²>0, 4/x²>0 だから相加・相乗平均の関係より x²+4/x² ≧ 2√(x²×4/x²)=2√4=4 だから，与式=4+5=9 となる。等号成立はx²=4/x²すなわちx⁴=4つまりx>0よりx²=2，x=√2の時）

x>1 の時，x + 1/(x-1) の最小値を求めよ。

• A. 最小値なし（x × 1/(x-1) は一定の数にならないから，相加・相乗平均の関係が使えず求められない）
• B. x=2 で最小値 3（積が定数となるような 2つの式を作ると，x-1 と 1/(x-1) である。(x-1)+1/(x-1)≧2√1=2。よって -1 を移項して，x+1/(x-1)≧3。等号成立はx-1=1/(x-1)すなわちx=2の時）