数II 02. 式と証明（2）等式・不等式の証明⭐

Question 1

【恒等式の証明方法】
恒等式 A = B を証明するにはどうすればよいか。（答えは一つとは限らない）

Accepted Answer

0

Accepted Answer

1

Accepted Answer

2

Question 2

a+b+c=0 の時，次の等式を証明せよ。
a³+b³+c³=3abc

この問題の解き方は？

c=-(a+b) を

a³+b³+c³-3abc に代入して，答えが 0 になることを示す

Accepted Answer

o

Question 3

比 a : b の比の値は？

Accepted Answer

0

Question 4

比が等しいとは，比の値が等しいということである。

だから，

a : b = c : d とは

a/b = c/d のことである。

Accepted Answer

o

Question 5

a/b=c/d の時，次の等式を証明せよ。
(a+b)/(b+d)=(a-c)/(b-d)

この問題の解き方は？

【a/b=c/d を k などの文字でおき】a=bk と c=dk を左辺と右辺にそれぞれ代入して計算し，最後の答えが 同じ式になることを示す
実は，どちらも k になる

自分でも計算すること！

Accepted Answer

o

Question 6

a/b=c/d の時，次の等式を証明せよ。
(a+b)/(b+d)=(a-c)/(b-d)

この問題の別の解き方は？

a/b=c/d だから，【a=bc/d を左辺と右辺にそれぞれ代入して a を消去する】計算をし，最後の答えが 同じ式になることを示す
実は，どちらも c/d になる

自分でも計算すること！

Accepted Answer

o

Question 7

不等式について次のことを覚えておこう

● 特に断りがなければ，文字は【実数】を表す

● 2つの実数 a, b について
a>b
a=b
a<b
のうち，どれか 1つの関係だけが成り立つ

Accepted Answer

o

Question 8

【不等式の性質】 ① a0ならばacbc, a/c>b/c（両辺に負のものを掛けたり割ったりすると大小関係が逆になる）

Accepted Answer

o

Question 9

a < b かつ
c < d の時，
a+c < b+d
（小さいもの同士を足した方が大きいもの同士を足したものより小さい）
を証明せよ。

a<bで，両辺にcを足すと
a+c<b+c...①
また，c<dで，両辺にbを足すと
b+c<b+d...②
①②より
a+c<b+c<b+d つまり
a+c<b+d

Accepted Answer

o

Question 10

a < x < b かつ
c < y < d の時，
a+c < x+y < b+d
（xとyの和は，小さいもの同士の和と大きいもの同士の和の間にある）
は成り立つか。

Accepted Answer

o

Question 11

a < x < b かつ
c < y < d の時，
a-d < x-y < b-c
（xとyの差は，a-dの差とb-cの差の間にある）
は成り立つか。

Accepted Answer

o

Question 12

【不等式の証明方法】
不等式 A>B を証明するにはどうすればよいか。（答えは一つとは限らない）

Accepted Answer

0

Accepted Answer

1

Question 13

x>1, y>1 の時，xy+1>x+y を証明せよ。

考え方：
左辺から右辺をひいて >0 を示せばよい

Accepted Answer

o

Question 14

【実数の平方の性質】
① 実数 a について a²≧0（実数を2乗して負になることはない）

② 実数 a, b について a²+b²≧0（実数を2乗したもの同士を足して負になることはない）

なお，等号が成立するのは（つまり 左辺=0 になるのは）
①については a=0 の時
②については a=b=0 の時

Accepted Answer

o

Question 15

不等式 x² + y² ≧ 2xy を証明せよ。

左辺から右辺を引き ≧0 を示せばよい。

x²+y²-2xy
=(x-y)²≧0【実数を2乗して負になることはない！】
等号成立は x-y=0 つまり x=y の時である

Accepted Answer

o

Question 16

不等式 x² + 5y² ≧ 4xy を証明せよ。

左辺から右辺を引き ≧0 を示せばよい。

x²+5y²-4xy
=x²-4xy+5y²
=x²-4xy+4y²+y²
=(x-2y)²+y²
ここで (x-2y)²≧0, y²≧0 だから
(x-2y)²+y²≧0 よって
x²+5y²≧4xy
等号成立は x-2y=0 かつ y=0
つまり，x=y=0 の時である

Accepted Answer

o