【恒等式の証明方法】 恒等式 A = B を証明するにはどうすればよいか。（答えは一つとは限らない）

• AかBの一方（普通は複雑な方）の式を変形して，他方を導く
• AとBの両方を変形して，同じ式を導く
• A-Bを計算して，0 になることを示す

a+b+c=0 の時，次の等式を証明せよ。 a³+b³+c³=3abc この問題の解き方は？ c=-(a+b) を a³+b³+c³-3abc に代入して，答えが 0 になることを示す

比 a : b の比の値は？

• a / b
• b / a
• a - b
• a + b

比が等しいとは，比の値が等しいということである。 だから， a : b = c : d とは a/b = c/d のことである。

a/b=c/d の時，次の等式を証明せよ。 (a+b)/(b+d)=(a-c)/(b-d) この問題の解き方は？ 【a/b=c/d を k などの文字でおき】a=bk と c=dk を左辺と右辺にそれぞれ代入して計算し，最後の答えが 同じ式になることを示す 実は，どちらも k になる 自分でも計算すること！

a/b=c/d の時，次の等式を証明せよ。 (a+b)/(b+d)=(a-c)/(b-d) この問題の別の解き方は？ a/b=c/d だから，【a=bc/d を左辺と右辺にそれぞれ代入して a を消去する】計算をし，最後の答えが 同じ式になることを示す 実は，どちらも c/d になる 自分でも計算すること！

不等式について次のことを覚えておこう ● 特に断りがなければ，文字は【実数】を表す ● 2つの実数 a, b について a>b a=b a<b のうち，どれか 1つの関係だけが成り立つ

【不等式の性質】 ① a<b, b<cならばa<c（不等式の推移律） ② a<bならばa+c<b+c, a-c<b-c（両辺に同じものを足しても引いても大小関係は同じ） ③ a<b, c>0ならばac<bc, a/c<b/c（両辺に正のものを掛けても割っても大小関係は同じ） ④ a<b, c<0ならばac>bc, a/c>b/c（両辺に負のものを掛けたり割ったりすると大小関係が逆になる）

a < b かつ c < d の時， a+c < b+d （小さいもの同士を足した方が大きいもの同士を足したものより小さい） を証明せよ。 a<bで，両辺にcを足すと a+c<b+c...① また，c<dで，両辺にbを足すと b+c<b+d...② ①②より a+c<b+c<b+d つまり a+c<b+d

a < x < b かつ c < y < d の時， a+c < x+y < b+d （xとyの和は，小さいもの同士の和と大きいもの同士の和の間にある） は成り立つか。

a < x < b かつ c < y < d の時， a-d < x-y < b-c （xとyの差は，a-dの差とb-cの差の間にある） は成り立つか。

【不等式の証明方法】 不等式 A>B を証明するにはどうすればよいか。（答えは一つとは限らない）

• A-B を計算して >0 であることを示す
• 不等式の性質を使う ① a<b, b<cならばa<c（不等式の推移律） ② a<bならばa+c<b+c, a-c<b-c（両辺に同じものを足しても引いても大小関係は同じ） ③ a<b, c>0ならばac<bc, a/c<b/c（両辺に正のものを掛けても割っても大小関係は同じ） ④ a<b, c<0ならばac>bc, a/c>b/c（両辺に負のものを掛けたり割ったりすると大小関係が逆になる）

x>1, y>1 の時，xy+1>x+y を証明せよ。 考え方： 左辺から右辺をひいて >0 を示せばよい

【実数の平方の性質】 ① 実数 a について a²≧0（実数を2乗して負になることはない） ② 実数 a, b について a²+b²≧0（実数を2乗したもの同士を足して負になることはない） なお，等号が成立するのは（つまり 左辺=0 になるのは） ①については a=0 の時 ②については a=b=0 の時

不等式 x² + y² ≧ 2xy を証明せよ。 左辺から右辺を引き ≧0 を示せばよい。 x²+y²-2xy =(x-y)²≧0【実数を2乗して負になることはない！】 等号成立は x-y=0 つまり x=y の時である

不等式 x² + 5y² ≧ 4xy を証明せよ。 左辺から右辺を引き ≧0 を示せばよい。 x²+5y²-4xy =x²-4xy+5y² =x²-4xy+4y²+y² =(x-2y)²+y² ここで (x-2y)²≧0, y²≧0 だから (x-2y)²+y²≧0 よって x²+5y²≧4xy 等号成立は x-2y=0 かつ y=0 つまり，x=y=0 の時である