【3次式の展開の公式】⭐ 1. (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 2. (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 2. の覚え方は？ 1. の式で b を -b で置き換えたものだから (-b)² の部分は +b² になるが (-b) と (-b)³ の部分は -b と -b³ になる 要するに，b の奇数乗の部分だけ マイナスの符号が付く

次の式を展開せよ。（ヒントも見てね） （1） (x+1)³ （2） (2x-y)³

• （1）x³+3x²+3x+1 （2）8x³-12x²y-6xy²-y³
• （1）x³+3x²+3x+1 （2）8x³-12x²y+6xy²-y³

【3次式の展開の公式】⭐（ヒントも見てね） 3. (a+b)(a²-ab+b²) = a³ + b³ 4. (a-b)(a²+ab+b²) = a³ - b³ 3. 4. の左辺を展開して，右辺になることを自分で確かめておこう

次の式を展開せよ。（ヒントも見てね） （1） (x+1)(x²-x+1) （2） (x-2y)(x²+2xy+4y²)

• （1）x³+1 （2）x³+8y³
• （1）x³+1 （2）x³-8y³

【3次式の展開の公式】⭐ 1. a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a+b)³ 2. a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a-b)³ 3. a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²) 4. a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

次の式を因数分解せよ。（ヒントも見てね） （1） x³-6x²+12x-8 （2） x³+64

• （1）(x-2)³ （2）(x+4)(x²-4x+16)
• （1）(x-2)³ （2）(x-4)(x²+4x+16)

パスカルの三角形 (a+b)^n の展開式の各項の係数を n=1,2,3,4,5... と並べると，三角形状の数の配列になる 1. 数の配列は，左右対称 2. 各行の両端の数は 1 3. 2行目以降の両端以外の数は，左上と右上の数の和に等しい

(a+b)⁵ の展開式について，次のことは正しいか。 (a+b)⁵=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) ① ② ③ ④ ⑤ だから，(a+b)⁵ の展開式は ①～⑤の (a+b) のそれぞれから a か b のどちらかを取って 掛け合わせた積 の和になる。 （続きはヒントを見てね）

【二項定理】bに注目して！⭐ (a+b)^n =nC₀ a^ n b⁰（bをn個から0個取る） +nC₁ a^(n-1) b¹（bをn個から1個取る） +nC₂ a^(n-2) b² +… +nC_r a^(n-r) b^r（bをn個からr個取る） +… +nC_(n-1) a¹ b^(n-1) +nC_n a⁰ b^n ただし， a⁰=1 nC₀=1 nC_n=1

(x-2)⁵ の展開式を求めよ。 (x-2)⁵ =₅C₀ x⁵(-2)⁰+₅C₁ x⁴(-2)¹+₅C₂ x³(-2)²+₅C₃ x²(-2)³+₅C₄ x¹(-2)⁴+₅C₅ x⁰(-2)⁵ =x⁵-10x⁴+40x³-80x²+80x-32

(2x-1)⁶ の展開式における x³ の項の係数を求めよ。

• -160

(a+b+c)⁷ の展開式における a³b²c² の項の係数を求めたい。正しい解き方はどれか。（答えは一つとは限らない。）

• A. c² に注目して，(a+b+c)⁷={(a+b)+c}⁷ と考える。(a+b)⁵c²の項の係数は ₇C₂(a+b)⁵c² である。また (a+b)⁵ の展開式において，a³b² の項は ₅C₂a³b² である。だから求める係数は ₇C₂×₅C₂=21×10=210
• B. (a+b+c)^n の展開式における a^p b^q c^r の項の係数は n!/(p!q!r!) だから，7!/(3!2!2!)=210

多項式 x²+2x-1 を多項式 B で割ると，商が x+2，余りが 6x-1 であるという。B を求めよ。 （割られる式）÷（割る式）=（商）…（余り）だから （割られる式）=（割る式）×（商）+（余り） よって x²+2x-1 = B × (x+2) + 6x-1 と表せる 整理して x²-4x = B × (x+2) つまり B = (x²-4x) ÷ (x+2) = x²-2x

A=4x²-5ax-6a²，B=x-2a を，x についての多項式とみて，AをBで割った時の商と余りを求めよ。 a は数と同じように思って，筆算すると 商：4x+3a，余り：0

次の式を約分して，既約分数式で表せ。 (x²-x)/(x²-1) (x²-x)/(x²-1) =x(x-1) / (x+1)(x-1) =x / (x+1)

次の式を簡単にせよ。 (1/x) / {1 - (1/x)} (1/x) / {1 - (1/x)} の分母と分子に x を掛けると 1 / (x-1)

含まれている文字にどのような値を代入しても，両辺の値が存在する限り等式が常に成り立つような式を何と言うか。

• 恒等式

等式 3x²+8x+1=(x+1)(ax+b)+c が x についての恒等式となるように，定数 a，b，c の値を定めよ。 等式の右辺を x について整理すると 3x²+8x+1=ax²+(a+b)x+(b+c) 両辺の係数を比較して 3=a 8=a+b 1=b+c これを解いて a=3，b=5，c=-4

等式 3x²+8x+1=(x+1)(ax+b)+c が x についての恒等式となるように，定数 a，b，c の値を定めよ。 恒等式だから（x に何を代入しても成り立つから） x に実際に数字を 3つ代入して，式を連立させて解くと x=0, 1, -1 をそれぞれ代入すると 1=b+c 12=2a+2b+c -4=c これを解いて a=3，b=5，c=-4

等式 (x+3) / (x+1)(x+2) = a / (x+1) + b / (x+2) が x についての恒等式となるように，定数 a，b の値を求めよ。

• a=2, b=-1

• a=2，b=-1