数II 01. 式と証明（1）式と計算⭐

Question 1

【3次式の展開の公式】⭐

1. (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

2. (a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

2. の覚え方は？

1. の式で b を -b で置き換えたものだから
(-b)² の部分は +b² になるが
(-b) と (-b)³ の部分は -b と -b³ になる
要するに，b の奇数乗の部分だけ マイナスの符号が付く

Accepted Answer

o

Question 2

次の式を展開せよ。（ヒントも見てね）

（1） (x+1)³

（2） (2x-y)³

Accepted Answer

1

Question 3

【3次式の展開の公式】⭐（ヒントも見てね）

3. (a+b)(a²-ab+b²) = a³ + b³

4. (a-b)(a²+ab+b²) = a³ - b³

3. 4. の左辺を展開して，右辺になることを自分で確かめておこう

Accepted Answer

o

Question 4

次の式を展開せよ。（ヒントも見てね）

（1） (x+1)(x²-x+1)

（2） (x-2y)(x²+2xy+4y²)

Accepted Answer

1

Question 5

【3次式の展開の公式】⭐

1. a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a+b)³

2. a³ - 3a²b + 3ab² - b³ = (a-b)³

3. a³ + b³ = (a+b)(a²-ab+b²)

4. a³ - b³ = (a-b)(a²+ab+b²)

Accepted Answer

o

Question 6

次の式を因数分解せよ。（ヒントも見てね）

（1） x³-6x²+12x-8

（2） x³+64

Accepted Answer

0

Question 7

パスカルの三角形

(a+b)^n の展開式の各項の係数を
n=1,2,3,4,5...
と並べると，三角形状の数の配列になる

1. 数の配列は，左右対称
2. 各行の両端の数は 1
3. 2行目以降の両端以外の数は，左上と右上の数の和に等しい

Accepted Answer

o

Question 8

(a+b)⁵ の展開式について，次のことは正しいか。

(a+b)⁵=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
                    ①       ②       ③       ④        ⑤

だから，(a+b)⁵ の展開式は
①～⑤の (a+b) のそれぞれから a か b のどちらかを取って
掛け合わせた積
の和になる。
（続きはヒントを見てね）

Accepted Answer

o

Question 9

【二項定理】bに注目して！⭐
(a+b)^n
=nC₀ a^ n b⁰（bをn個から0個取る）
+nC₁ a^(n-1) b¹（bをn個から1個取る）
+nC₂ a^(n-2) b²
+…
+nC_r a^(n-r) b^r（bをn個からr個取る）
+…
+nC_(n-1)  a¹  b^(n-1)
+nC_n  a⁰  b^n

ただし，
a⁰=1
nC₀=1
nC_n=1

Accepted Answer

o

Question 10

(x-2)⁵ の展開式を求めよ。

(x-2)⁵
=₅C₀ x⁵(-2)⁰+₅C₁ x⁴(-2)¹+₅C₂ x³(-2)²+₅C₃ x²(-2)³+₅C₄ x¹(-2)⁴+₅C₅ x⁰(-2)⁵
=x⁵-10x⁴+40x³-80x²+80x-32

Accepted Answer

o

Question 11

(2x-1)⁶ の展開式における x³ の項の係数を求めよ。

Accepted Answer

-160

Question 12

(a+b+c)⁷ の展開式における a³b²c² の項の係数を求めたい。正しい解き方はどれか。（答えは一つとは限らない。）

Accepted Answer

0

Accepted Answer

1

Question 13

多項式 x²+2x-1 を多項式 B で割ると，商が x+2，余りが 6x-1 であるという。B を求めよ。

（割られる式）÷（割る式）=（商）…（余り）だから
（割られる式）=（割る式）×（商）+（余り）

よって
x²+2x-1 = B × (x+2) + 6x-1
と表せる

整理して
x²-4x = B × (x+2)
つまり
B = (x²-4x) ÷ (x+2) = x²-2x

Accepted Answer

o

Question 14

A=4x²-5ax-6a²，B=x-2a を，x についての多項式とみて，AをBで割った時の商と余りを求めよ。

a は数と同じように思って，筆算すると

商：4x+3a，余り：0

Accepted Answer

o

Question 15

次の式を約分して，既約分数式で表せ。

(x²-x)/(x²-1)

(x²-x)/(x²-1)
=x(x-1) / (x+1)(x-1)
=x / (x+1)

Accepted Answer

o

Question 16

次の式を簡単にせよ。

(1/x) / {1 - (1/x)}

(1/x) / {1 - (1/x)} の分母と分子に x を掛けると

1 / (x-1)

Accepted Answer

o

Question 17

含まれている文字にどのような値を代入しても，両辺の値が存在する限り等式が常に成り立つような式を何と言うか。

Accepted Answer

恒等式

Question 18

等式 3x²+8x+1=(x+1)(ax+b)+c が x についての恒等式となるように，定数 a，b，c の値を定めよ。

等式の右辺を x について整理すると
3x²+8x+1=ax²+(a+b)x+(b+c)
両辺の係数を比較して
3=a
8=a+b
1=b+c
これを解いて
a=3，b=5，c=-4

Accepted Answer

o

Question 19

等式 3x²+8x+1=(x+1)(ax+b)+c が x についての恒等式となるように，定数 a，b，c の値を定めよ。

恒等式だから（x に何を代入しても成り立つから）
x に実際に数字を 3つ代入して，式を連立させて解くと
x=0, 1, -1 をそれぞれ代入すると
1=b+c
12=2a+2b+c
-4=c
これを解いて
a=3，b=5，c=-4

Accepted Answer

o

Question 20

等式 (x+3) / (x+1)(x+2) = a / (x+1) + b / (x+2) が x についての恒等式となるように，定数 a，b の値を求めよ。

Accepted Answer

a=2, b=-1

Accepted Answer

a=2，b=-1

問題 1

OX

問題 2

選択式

次の式を展開せよ。（ヒントも見てね）（1） (x+1)³ （2） (2x-y)³

問題 3

OX

【3次式の展開の公式】⭐（ヒントも見てね） 3. (a+b)(a²-ab+b²) = a³ + b³ 4. (a-b)(a²+ab+b²) = a³ - b³ 3. 4. の左辺を展開して，右辺になることを自分で確かめておこう

問題 4

選択式

次の式を展開せよ。（ヒントも見てね）（1） (x+1)(x²-x+1) （2） (x-2y)(x²+2xy+4y²)

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