【内角の二等分線と比】⭐ △ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点Dとすると AB : AC = BD : DC 「内角」だから「内分」と覚えよう

【内角の二等分線と比】証明⭐ △ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点Dとすると AB : AC = BD : DC その証明は… 簡単に言うと 頂点Cを通り，ADと平行な線とBAとの交点をEとすると △ACEは二等辺三角形になるから AB : AC = BA : AE = BD : DC

AB=6, BC=10, AC=9 である△ABCにおいて，∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。線分BDの長さを求めよ。

【外角の二等分線と比】⭐ △ABCの∠Aの外角の二等分線と辺BCとの交点Dとすると AB : AC = BD : DC 「外角」だから「外分」と覚えよう

【外角の二等分線と比】証明⭐ △ABCの∠Aの外角の二等分線と辺BCとの交点Dとすると AB : AC = BD : DC その証明は… 簡単に言うと 頂点Cを通り，ADと平行な線とBAとの交点をFとすると △AFCは二等辺三角形になるから AB : AC = BA : AF = BD : DC

図において，AC=x，DE=y とする。x, y の値を求めよ。

【外心】各頂点と等距離⭐ 三角形の【各辺の垂直二等分線】は 1点で交わる その点をOとすると，点Oは三角形ABCの 3つの頂点から等距離にある（当たり前！「線分の垂直二等分線：2点からの距離が等しい点の集まり」上に点Oがあるから） よって，この点Oを中心とする半径OA=OB=OCの円は△ABCの頂点を通る この円を△ABCの外接円と言い，点Oを△ABCの外心と言う

【内心】各辺と等距離⭐ 三角形の【頂角の二等分線】は 1点で交わる その点を I とすると，点 I は三角形ABCの 3辺から等距離にある（当たり前！「角の垂直二等分線：2辺からの距離が等しい点の集まり」上に点 I があるから） この点 I を中心とする半径ID=IE=IFの円は△ABCの3辺に接する（D,E,Fは垂線の足） この円を△ABCの内接円と言い，点 I を△ABCの内心と言う

【重心】⭐ 三角形の3本の【中線：辺の中点と頂点を結んだ線】は 1点で交わる その点をGとすると，点Gは各中線を 2:1 に内分する（中点連結定理より） この点Gを△ABCの重心と言う

【垂心】⭐ 三角形の3本の【垂線】は 1点で交わる その点Hを△ABCの垂心と言う

正三角形では対称性により内心，外心，重心，垂心は一致する！ 普通の三角形では一致しない 蛇足： しかし，どんな三角形でも以下の点は必ず一直線上に並ぶ 垂心H 外心O 重心G その一直線をオイラー線と言う （逆に，正三角形では全ての点が一致するのでオイラー線は無くなる） 蛇足の蛇足： HOG （去勢した食用の）雄豚 と覚えてもいいね ちなみに pig は子豚，豚肉，sow[sau] はメス豚

【中線定理】ACの中点をMとすると AB²+AC²=2(AM²+BM²)

【中線定理】証明 △ABCにおいてAB>ACとする ACの中点をM，AからBCに下ろした垂線の足をHとすると AB²+AC² =AH²+BH²+AH²+CH² =AH²+(BM+MH)²+AH²+(MC-MH)² =2AH²+BM²+2BM×MH+MH²+MC²-2MC×MH+MH² =2(AH²+MH²+BM²) =2(AM²+BM²) AB≦ACの時も同様に成り立つ

【中線定理】 図で x の値を求めよ。ただし，Gは△ABCの重心である。

【メネラウスの定理】⭐ 三角形と（頂点を通らない）直線について次のことが成り立つ BR/RA × AQ/QC × CP/PB = 1 覚え方1：（小学生向け） キツネの鼻からぴょん，ぴょん，ぴょん，ぴょん，バック，ぴょーん 覚え方2：（高校生向け） 頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点とたどる

【チェバの定理】⭐ 三角形の各頂点を通る直線について次のことが成り立つ BR/RA × AQ/QC × CP/PB = 1 覚え方： 頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点とたどる

△ABCの辺ABを 1 : 2 に内分する点をR，辺ACを 3 : 2 に内分する点をQとする。線分BQとCRの交点をO，直線AOと辺BCの交点をPとする。 BP : PC を求めよ。

△ABCの辺ABを 1 : 2 に内分する点をR，辺ACを 3 : 2 に内分する点をQとする。線分BQとCRの交点をO，直線AOと辺BCの交点をPとする。（前の問題で BP : PC = 3 : 1 であることは求めた。） PO : OA を求めよ。

【三角形の3辺の大小関係】 ● 2辺の長さの和は，他の 1辺の長さよりも大きい ● 2辺の長さの差は，他の 1辺の長さよりも小さい 式でいうと |b-c| < a < b+c （ここで，a,b,c としてどの値の取り方をしても 1通りだけ調べればよい）

【三角形の辺と角の大小関係】 辺と角の大小は一致する a < b < c ⇔ ∠A < ∠B < ∠C 最大辺と最大角は向かい合う