数A 08. 図形の性質（1）三角形⭐

Question 1

【内角の二等分線と比】⭐
△ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点Dとすると

AB : AC = BD : DC

「内角」だから「内分」と覚えよう

Accepted Answer

o

Question 2

【内角の二等分線と比】証明⭐
△ABCの∠Aの二等分線と辺BCとの交点Dとすると AB : AC = BD : DC
その証明は…
簡単に言うと

頂点Cを通り，ADと平行な線とBAとの交点をEとすると
△ACEは二等辺三角形になるから
AB : AC = BA : AE = BD : DC

Accepted Answer

o

Question 3

AB=6, BC=10, AC=9 である△ABCにおいて，∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。線分BDの長さを求めよ。

Accepted Answer

4

Question 4

【外角の二等分線と比】⭐
△ABCの∠Aの外角の二等分線と辺BCとの交点Dとすると

AB : AC = BD : DC

「外角」だから「外分」と覚えよう

Accepted Answer

o

Question 5

【外角の二等分線と比】証明⭐
△ABCの∠Aの外角の二等分線と辺BCとの交点Dとすると AB : AC = BD : DC
その証明は…
簡単に言うと

頂点Cを通り，ADと平行な線とBAとの交点をFとすると
△AFCは二等辺三角形になるから
AB : AC = BA : AF = BD : DC

Accepted Answer

o

Question 6

図において，AC=x，DE=y とする。x, y の値を求めよ。

Accepted Answer

2

Question 7

【外心】各頂点と等距離⭐

三角形の【各辺の垂直二等分線】は 1点で交わる

その点をOとすると，点Oは三角形ABCの 3つの頂点から等距離にある（当たり前！「線分の垂直二等分線：2点からの距離が等しい点の集まり」上に点Oがあるから）

よって，この点Oを中心とする半径OA=OB=OCの円は△ABCの頂点を通る

この円を△ABCの外接円と言い，点Oを△ABCの外心と言う

Accepted Answer

o

Question 8

【内心】各辺と等距離⭐

三角形の【頂角の二等分線】は 1点で交わる

その点を I とすると，点 I は三角形ABCの 3辺から等距離にある（当たり前！「角の垂直二等分線：2辺からの距離が等しい点の集まり」上に点 I があるから）

この点 I を中心とする半径ID=IE=IFの円は△ABCの3辺に接する（D,E,Fは垂線の足）

この円を△ABCの内接円と言い，点 I を△ABCの内心と言う

Accepted Answer

o

Question 9

【重心】⭐

三角形の3本の【中線：辺の中点と頂点を結んだ線】は 1点で交わる

その点をGとすると，点Gは各中線を 2:1 に内分する（中点連結定理より）

この点Gを△ABCの重心と言う

Accepted Answer

o

Question 10

【垂心】⭐

三角形の3本の【垂線】は 1点で交わる

その点Hを△ABCの垂心と言う

Accepted Answer

o

Question 11

正三角形では対称性により内心，外心，重心，垂心は一致する！
普通の三角形では一致しない

蛇足：
しかし，どんな三角形でも以下の点は必ず一直線上に並ぶ
垂心H
外心O
重心G

その一直線をオイラー線と言う
（逆に，正三角形では全ての点が一致するのでオイラー線は無くなる）

蛇足の蛇足：
HOG （去勢した食用の）雄豚 と覚えてもいいね
ちなみに pig は子豚，豚肉，sow[sau] はメス豚

Accepted Answer

o

Question 12

【中線定理】ACの中点をMとすると

AB²+AC²=2(AM²+BM²)

Accepted Answer

o

Question 13

【中線定理】証明

△ABCにおいてAB>ACとする
ACの中点をM，AからBCに下ろした垂線の足をHとすると

AB²+AC²
=AH²+BH²+AH²+CH²
=AH²+(BM+MH)²+AH²+(MC-MH)²
=2AH²+BM²+2BM×MH+MH²+MC²-2MC×MH+MH²
=2(AH²+MH²+BM²)
=2(AM²+BM²)

AB≦ACの時も同様に成り立つ

Accepted Answer

o

Question 14

【中線定理】
図で x の値を求めよ。ただし，Gは△ABCの重心である。

Accepted Answer

0

Question 15

【メネラウスの定理】⭐
三角形と（頂点を通らない）直線について次のことが成り立つ

BR/RA × AQ/QC × CP/PB = 1

覚え方1：（小学生向け）
キツネの鼻からぴょん，ぴょん，ぴょん，ぴょん，バック，ぴょーん

覚え方2：（高校生向け）
頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点とたどる

Accepted Answer

o

Question 16

【チェバの定理】⭐
三角形の各頂点を通る直線について次のことが成り立つ

BR/RA × AQ/QC × CP/PB = 1

覚え方：
頂点→分点→頂点→分点→頂点→分点→頂点とたどる

Accepted Answer

o

Question 17

△ABCの辺ABを 1 : 2 に内分する点をR，辺ACを 3 : 2 に内分する点をQとする。線分BQとCRの交点をO，直線AOと辺BCの交点をPとする。

BP : PC を求めよ。

Accepted Answer

3:1

Accepted Answer

3：1

Question 18

△ABCの辺ABを 1 : 2 に内分する点をR，辺ACを 3 : 2 に内分する点をQとする。線分BQとCRの交点をO，直線AOと辺BCの交点をPとする。（前の問題で BP : PC = 3 : 1 であることは求めた。）

PO : OA を求めよ。

Accepted Answer

1:2

Accepted Answer

1：2

Question 19

【三角形の3辺の大小関係】

● 2辺の長さの和は，他の 1辺の長さよりも大きい

● 2辺の長さの差は，他の 1辺の長さよりも小さい

式でいうと

|b-c| < a < b+c

（ここで，a,b,c としてどの値の取り方をしても 1通りだけ調べればよい）

Accepted Answer

o

Question 20

【三角形の辺と角の大小関係】

辺と角の大小は一致する

a < b < c ⇔ ∠A < ∠B < ∠C

最大辺と最大角は向かい合う

Accepted Answer

o