正六角形について，次の数を求めよ。 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

• 20

• 20個

正六角形について，次の数を求めよ。 2個の頂点を結ぶ線分の本数

• 15

• 15本

正六角形について，次の数を求めよ。 対角線の本数

• 9

• 9本

大人6人，子ども4人の中から，5人を選ぶ時，次のような選び方は何通りあるか。 大人3人と子ども2人を選ぶ

• 120

• 120通り

大人6人，子ども4人の中から，5人を選ぶ時，次のような選び方は何通りあるか。 子どもが少なくとも1人は選ばれるように選ぶ

• 246

• 246通り

【組分け問題（組合せ）】 6人を次のように分ける時，分け方は何通りあるか。 A，B，Cの3つの部屋に，2人ずつ分ける

• 90

• 90通り

【組分け問題（組合せ）】 6人を次のように分ける時，分け方は何通りあるか。 2人ずつの3つの組に分ける

• 15

• 15通り

【組分け問題】 12冊の異なる本を分ける方法についての以下の計算はどの問題の答えか。 12冊から5冊選ぶ方法は ₁₂C₅ 残りの7冊から4冊選ぶ方法は ₇C₄ 残りの3冊は自動的に決まるから ₁₂C₅×₇C₄×1 =₁₂C₅×₇C₃×1 =27720通り。

• 5冊，4冊，3冊の3組に分ける。
• 4冊ずつ3人の子どもに分ける。
• 4冊ずつ3組に分ける。
• 8冊，2冊，2冊の3組に分ける。

【組分け問題】 12冊の異なる本を分ける方法についての以下の計算はどの問題の答えか。 3人の子どもをA,B,Cとすると Aに4冊選ぶ方法は ₁₂C₄ Bに4冊選ぶ方法は₈C₄ Cの4冊は自動的に決まるから ₁₂C₄×₈C₄×1 =34650通り。

• 5冊，4冊，3冊の3組に分ける。
• 4冊ずつ3人の子どもに分ける。
• 4冊ずつ3組に分ける。
• 8冊，2冊，2冊の3組に分ける。

【組分け問題】 12冊の異なる本を分ける方法についての以下の計算はどの問題の答えか。 3人の子どもをA,B,Cとすると Aに4冊選ぶ方法は ₁₂C₄ Bに4冊選ぶ方法は₈C₄ Cの4冊は自動的に決まるから ₁₂C₄×₈C₄×1 ここで，A,B,Cの区別をなくすと，同じ組分けが3!=6通り出てくる。だから ₁₂C₄×₈C₄×1÷3! =5775通り。

• 5冊，4冊，3冊の3組に分ける。
• 4冊ずつ3人の子どもに分ける。
• 4冊ずつ3組に分ける。
• 8冊，2冊，2冊の3組に分ける。

【組分け問題】ヒントも 12冊の異なる本を分ける方法についての以下の計算はどの問題の答えか。 8冊，2冊，2冊に分けると2冊の組は区別がつかない よって ₁₂C₈×₄C₂÷2! =₁₂C₄×₄C₂÷2! =1485通り。

• 5冊，4冊，3冊の3組に分ける。
• 4冊ずつ3人の子どもに分ける。
• 4冊ずつ3組に分ける。
• 8冊，2冊，2冊の3組に分ける。

【同じものを含む場合の順列】 a が 3個，b が 2個，c が 2個あるという。1列に並べる並べ方は何通りあるか。（答えは一つとは限らない）

• 【組合せの考え方を使う】7個の箱から3個選んで a を置くと考えると，その選び方は ₇C₃ 通り。残り4個の箱から2個を選ぶ選び方は ₄C₂ 通り。a，b の置き方が決まれば，残り2個の c の置き方は決まる。したがって，₇C₃ × ₄C₂ = 210通り。
• 【順列の考え方を使う：最初は異なるものとみて，あとで割る】a，b，c をそれぞれ，a₁,a₂,a₃,b₁,b₂,c₁,c₂ のように番号を付けてすべて異なるものと考える。その並べ方は 7!通り。そこで区別をなくすと a については，3! 通りの並び方の区別がなくなり，すべて 1通りとして数えられる。したがって，7!/(3!×2!×2!)=210通り。

9個の数字，1,1,1,1,2,2,2,3,3 の全部を使って，9桁の整数を作る時，何個の整数が作れるか。 9個の箱から4個選んで 1 を置くと考えると，その選び方は ₉C₄ 通り。同様にして，₉C₄×₅C₃×₂C₂=1260個。 または 9つの数字はすべて異なる数字とみなすと，その並べ方は 9!通り。区別をなくすと 9!/(4!×3!×2!)=1260個。

【最短経路問題】 図のような道路において，AからBへ行く最短の道順は何通りあるか。（答えは一つとは限らない）

• 交差点から次の交差点まで行くのに，↑と→の向きがある。1つの道順は，↑3個と→4個を使って作られる順列に対応している。だから，7!/(3!×4!)=35通り。
• ↑3個と→4個を置く，7個の場所から，↑を置く3個を選ぶ方法を考えて ₇C₃=35通り。（↑3個を選んだら，→4個は自動的に1通りしかない）
• ↑3個と→4個を置く，7個の場所から，→を置く4個を選ぶ方法を考えて ₇C₄=35通り。（→4個を選んだら，↑3個は自動的に1通りしかない）

【重複組合せ】⭐ 3個の文字 a, b, c から，重複を許して 7個取る組合せはいくつか。 3個の文字がそれぞれ何個か分からない！ 文字を 1個も使わないこともあり得る！ だから，これまでの ?C₇ では求められない それで，別の考え方 文字を〇，文字が変わるところを仕切り | で表し 「7個の〇と2個の | の順列」と考える！ 例：aaaabbc は 〇〇〇〇|〇〇|〇

• A. 9個の場所から〇を置く7個の場所を選ぶ方法に等しく，₉C₇=₉C₂=36通り。
• B. 同じものを含む順列と等しく，9!/(7!2!)=36通り。

【重複組合せ】⭐ りんご，イチゴ，みかん 3種類の果物から，重複を許して 5個取って作る組合せはいくつか。 3種類の果物がそれぞれ何個か分からない！ 1個も取らない果物もあり得る！ だから，これまでの ?C₅ では求められない それで，別の考え方 果物を〇，果物の種類が変わるところを仕切り | で表し 「5個の〇と2個の | の順列」と考える！ 例：りりイイイ は 〇〇|〇〇〇|

• A. 7個の場所から〇を置く5個の場所を選ぶから，₇C₅=₇C₂=21通り。
• B. 5個の〇と2個の | を並べる順列だから，7!/(5!2!)=21通り。

【重複組合せ】⭐ 等式 x+y+z=8 を満たす負でない整数 x, y, z の組の個数を求めよ。 「負でない整数」だから 「0か正の整数」つまり，x≧0,y≧0,z≧0 【それぞれの整数を〇の個数に対応させる】と考えて （例：x=5,y=0,z=3 は 〇〇〇〇〇||〇〇〇 に対応）

• A. 10個の場所から〇を置く8個の場所を選ぶから，₁₀C₈=₁₀C₂=45個。
• B. 8個の〇と2個の | を並べる順列だから，10!/(8!2!)=45個。

【重複組合せ】⭐ 等式 x+y+z=8 を満たす【正の整数】 x, y, z の組の個数を求めよ。

• A. 10個の場所から〇を置く8個の場所を選ぶから，₁₀C₈=₁₀C₂=45個。
• B. 8個の〇と2個の | を並べる順列だから，10!/(8!2!)=45個。
• C. 7個の場所から〇を置く5個の場所を選ぶから，₇C₅=₇C₂=21個。
• D. 5個の〇と2個の | を並べる順列だから，7!/(5!2!)=21個。

【重複組合せ】 等式 x+y+z+w=18, x≧8, y≧4, z≧2, w≧0 を満たす整数 x, y, z, w の組の個数を求めよ。この時の考え方は？ ちなみに答えは下記である。 7個の場所から〇を置く4個の場所を選ぶから ₇C₄=₇C₃=35個。 または 4個の〇と3個の | を並べる順列だから 7!/(4!3!)=35個。

• A. 18個の〇を最初から xに8個，yに4個，zに2個与えておく。残りの4個の〇をx,y,z,wに分ければよい。
• B. x-8=X≧0, y-4=Y≧0, z-2=Z≧0とおくと（wは最初からw≧0となってるから置き換える必要はない），X+Y+Z+w=(x-8)+(y-4)+(z-2)+w=x+y+z+w-14=18-4=4。これは「等式X+Y+Z+w=4を満たす負でない整数の組の個数を求めよ」と同じ問題！