100以下の自然数のうち，次の数は何個あるか。 3で割り切れる数

• 6
• 33
• 47
• 53
• 67

100以下の自然数のうち，次の数は何個あるか。 3で割り切れない数

• 6
• 33
• 47
• 53
• 67

100以下の自然数のうち，次の数は何個あるか。 3でも5でも割り切れる数

• 6
• 33
• 47
• 53
• 67

100以下の自然数のうち，次の数は何個あるか。 3と5の少なくとも一方で割り切れる数

• 6
• 33
• 47
• 53
• 67

100人の人を対象に，2つの提案 a, b への賛否を調べたところ，a に賛成した人は77人，b に賛成した人は84人，a にも b にも賛成した人は66人いた。a にも b にも賛成しなかった人は何人いるか。

• 5

• 5人

ある競技の予選を通過するには，5試合のうち3勝すればいいという。ただし，引き分けはなく，3勝すればそれ以降の試合はない。最初に1勝した時，この予選を通過するための勝敗の順は何通りあるか。

• 6

• 6通り

1個のさいころを2回投げる時，目の和が5の倍数になる場合は何通りあるか。

• 目の和が5になるのは (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) の4通り
• 目の和が10になるのは (4,6), (5,5), (6,4) の3通り
• 目の和が5になるのは4通り，10になるのは3通りだから，7通り
• 目の和が5になるのは4通り，10になるのは3通りだから，12通り

大中小3個のさいころを投げる時，全ての目が5以上である場合は何通りあるか。

• 大のさいころでは5と6の2通り，中のさいころでも5と6の2通り，小のさいころでも5と6の2通りだから6通り
• 大のさいころでは5と6の2通り，中のさいころでも5と6の2通り，小のさいころでも5と6の2通りだから8通り

8の約数は何個あるか。 8=2³ だから 8の約数は 2⁰=1 2¹=2 2²=4 2³=8 の4個である。

72の約数は何個あるか。 72=2³×3² だから 72の約数は 2⁰×3⁰=1 2⁰×3¹=3 2⁰×3²=9 2¹×3⁰=2 2¹×3¹=6 2¹×3²=18 2²×3⁰=4 2²×3¹=12 2²×3²=36 2³×3⁰=8 2³×3¹=24 2³×3²=72 の12個

7人から3人を選んで1列に並べる時，並べ方は何通りあるか。（答えは一つとは限らない）【ヒントも見てね】 ① 1番目は誰でもよいから7通り。 ② 2番目は①で決めた以外の6通り。 ③ 3番目は①②で決めた以外の5通り。 したがって，並べ方の総数は積の法則により 7×6×5=210通り。

大人4人と子ども3人が1列に並ぶ時，両端が大人である並び方は何通りあるか。 【両端の2人とその間の5人に分けて考え，積の法則を使う。】 両端は，大人4人の中から2人を選んで並べるので（両端がA〇〇〇BとB〇〇〇Aは別の並べ方） 4×3通り。 そのどの場合に対しても，間に並ぶ残りの5人の並べ方は，5×4×3×2×1通りある。 積の法則より1440通り。

大人4人と子ども3人が1列に並ぶ時，子ども3人が続いて並ぶ並び方は何通りあるか。 【まず，子ども3人をひとまとめにして全体の並び方を考える。次に，ひとまとめにした子ども3人の並び方を考える。】 大人4人とひとまとめにした子どもの並び方は，5×4×3×2×1通りある。 そのどの場合に対しても，ひとまとめにした子ども3人の並び方は，3×2×1通りある。 よって積の法則より720通り。

6個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 のうちの異なる4個を並べて，4桁の整数を作る時，何個作れるか。

• 千の位は6通り，百の位は5通り，十の位は4通り，一の位は3通り。積の法則より360個。
• 千の位は，0以外の数字 1,2,3,4,5 のどれかであるから，その選び方は5通り。そのどの場合に対しても，百，十，一の位には，残り5個の数字から3個取って並べるから，その並べ方は 5×4×3通り。積の法則より300個。

6個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 のうちの異なる4個を並べて，4桁の整数を作る時，4桁の奇数は何個作れるか。

• 一の位は，数字 1, 3, 5 のどれかであるから，その選び方は3通り。あとの3桁の数字の並べ方は 5×4×3通り。積の法則より180個。
• 一の位は，数字 1, 3, 5 のどれかであるから，その選び方は3通り。そのどの場合に対しても，千の位は，0 と一の位の数字以外の4個の数字のどれかであるからその選び方は4通り。さらに，百，十の位には，残りの4個の数字から2個取って並べるからその並べ方は 4×3通り。積の法則より144個。

【円順列】と名前はついているが公式を覚える必要はない 7人が輪の形に並ぶ時，並び方は何通りあるか。（答えは一つとは限らない）

• 【1人を固定して並べると，回転して同じ並び方になることはない。】だから，残り6つの場所に，残りの6人が並ぶ順列を考えればよい。① 1人を固定して残り6人の順列の総数に等しい。したがって 6×5×4×3×2×1=720通り。
• 【同じ並び方になる個数に着目してそれで割る。】 ① まず，7人を1列に並べる。② 次に①の両端をつなげて輪にし，回転して並び方が同じになるものは同じ並び方とみなす。それは7通りある。したがって 7×6×5×4×3×2×1 / 7 = 6×5×4×3×2×1 = 720通り。

男子5人と，女子2人が円形に並ぶ。この時，2人の女子が隣り合わない並び方は何通りあるか。（答えは一つとは限らない）

• 男子1人を固定して，残りの男子4人を円周上に並べる並べ方は，4×3×2×1=24通り。その男子と男子の間の5か所に女子2人を1人ずつ並べる並べ方は，5×4=20通り。積の法則より480通り。
• 2人の女子が隣り合うように7人を円形に並べる並べ方は，2人の女子を1まとめとして考えて，5×4×3×2×1=120通り。その1通りに対して，女子の並べ方が2通りづつあるから，120×2=240通り。したがって，単に7人を並べる並べ方は720通りだから，720-240=480通り。

7人から4人を選んで円形に並べる並べ方は何通りあるか。（答えは一つとは限らない）

• 7人から4人を選んで1列に並べる並べ方は，7×6×5×4通り。円形に並べると回転して同じ並び方になるものが4通りあるから，7×6×5×4 /4=210通り。
• 7人から4人を選んぶ組合せは ₇C₄通り。その選ばれた4人を円形に並べる並べ方は，4×3×2×1 /4通り。続けて起こることだから積の法則より，7×6×5×4/(4×3×2×1)×4×3×2×1 /4=210通り。

【重複順列：同じものを繰り返し使うことを許した順列】と名前はついているが公式を覚える必要はない 3個の数字 1, 2, 3 を重複を許して並べて，4桁の整数を救る時，何個の整数が作れるか。 箱を4つ用意すると，各箱の中に入れる数字の選び方は，他の箱に入れる数字の選び方と無関係にそれぞれ 1, 2, 3 通りある。 だから積の法則より 3×3×3×3=81個。

【組分け問題（重複順列）】 次の問いに答えよ。（答えは一つとは限らない） （1）7人を2つの部屋A，Bに入れる方法は何通りあるか。ただし，1人も入らない部屋があってもよいものとする。 （2）7人を，区別をしない2つの部屋に入れる方法は何通りあるか。ただし，それぞれの部屋には少なくとも1人は入れるものとする。

• （1）1人を2つの部屋A，Bに入れる方法は2通りある。だから2⁷=128通り。（2）（1）において，一方の部屋が0人になる場合を除いて128-2=126通り。さらにA，Bの区別をなくして126÷2=83通り。
• （1）7人を1列に並べ，その1人1人に，それぞれが入る部屋を示す札A，Bを渡していくと考えると，部屋に入れる方法の総数は，2種類の札A，Bを7枚並べる重複順列の個数に等しい。だから2⁷=128通り。（2）（1）において，一方の部屋が0人になる場合を除いて128-2=126通り。さらにA，Bの区別をなくして126÷2=83通り。
• （1）Aに7人，Bに0人入れる組合せは，Aに7人から7人選ぶから₇C₇。同様にして₇C₇+₇C₆+₇C₅+...+₇C₀=1+7+21+35+35+21+7+1=128通り。（2）（1）において，一方の部屋が0人になる場合を除いて128-2=126通り。さらにA，Bの区別をなくして126÷2=83通り。