【散らばり具合を表す方法】 ● 四分位範囲： データの値を大きさの順に並べた時，4等分する位置にくる値【3つ】を用いて散らばり具合を表す ● 箱ひげ図： データの最小値，データを大きさの順に並べた時に4等分する位置にくる値 3つ，最大値の【5つ】を用いて散らばり具合を表す ● 分散，標準偏差： データの【全ての値】を用いて散らばり具合を表す

【偏差】⭐ 変量 x のデータの値を x₁, x₂, x₃, ..., x_n とすると 平均値 ⁻x：(x₁+x₂+x₃+...+x_n) / n 偏差とは，【それぞれの値と平均値との差】つまりそれぞれの値の【平均とのズレ】 x₁-⁻x x₂-⁻x x₃-⁻x ... x_n-⁻x だから，これらの総和は (x₁+x₂+x₃+...+x_n) - n × ⁻x = ?

• 0

偏差の総和は 0 だから 偏差の平均値も？

• 0

次のようなデータがある 1, 5, 3, 1, 2, 0 平均値は 2 偏差は順に -1, +3, +1, -1, 0, -2 偏差の平均値は (-1+3+1-1+0-2)/6 = 0

【分散】⭐ 偏差（平均値との差）を求めても その総和は 0 になるし だから偏差の平均値も 0 になるから 偏差では散らばり具合は分からない そこで，偏差の2乗を考え，【偏差の2乗の平均値】を求める これを【分散】と言う 分散の値が大きい →平均値から離れているデータが多い →それだけ分散している →散らばっている

【標準偏差】⭐ヒントも 【分散は偏差の2乗の平均値】だから 単位は元の単位を2乗したもので変化してしまっている 元単位に戻すためその平方根を求める→これを標準偏差と言う つまり【標準偏差とは分散の平方根】 →各データが平均値から標準的にいくつ離れているか すなわち 標準偏差 s=√分散 分散 s²={(x₁-⁻x)²+(x₂-⁻x)²+(x₃-⁻x)²+ ... +(x_n-⁻x)²}/n

次のようなデータがある 0, 1, 1, 2, 3, 5 平均値は 2 偏差は順に -2, -1, -1, 0, +1, +3 偏差の2乗は順に 4, 1, 1, 0, 1, 9 分散つまり偏差の2乗の平均値は 16/6=8/3(≒2.66) 標準偏差は √(8/3)=2√6/3(≒1.63) 実際，平均値の2±1.63つまり0.37から3.63の間にデータは大体あると言える

【分散】ヒントも 偏差の2乗の平均値 分散には別の表し方もある s²={(x₁-⁻x)²+(x₂-⁻x)²+...+(x_n-⁻x)²}/n ={(x₁²+x₂²+...+x_n ²)-2⁻x(x₁+x₂+...+x_n)+n(⁻x)²}/n =(x₁²+x₂²+...+x_n ²)/n-2⁻x(x₁+x₂+...+x_n)/n+(⁻x)² =(x₁²+x₂²+...+x_n ²)/n-(⁻x)²

【変量の変換】⭐ データの各値全てに b を足すと以下はどう変わるか，あるいは変わらないか。 （1）平均 （2）偏差 （3）分散 （4）標準偏差

• （1）平均は b 増加 （2）偏差は b 増加 （3）分散は b² 増加 （4）標準偏差は b 増加
• （1）平均は変わらない （2）偏差は変わらない （3）分散は変わらない （4）標準偏差は変わらない
• （1）平均は変わらない （2）偏差は b 増加 （3）分散は b² 増加 （4）標準偏差は b 増加
• （1）平均は変わらない （2）偏差は b 増加 （3）分散は b 増加 （4）標準偏差は b 増加
• （1）平均は b 増加 （2）偏差は変わらない （3）分散は変わらない （4）標準偏差は変わらない

【変量の変換】⭐ データの各値全てに a を掛けると以下はどう変わるか，あるいは変わらないか。 （1）平均 （2）偏差 （3）分散 （4）標準偏差

• （1）平均は変わらない （2）偏差は変わらない （3）分散は変わらない （4）標準偏差は 変わらない
• （1）平均は a 倍 （2）偏差は a 倍 （3）分散は a² 倍 （4）標準偏差は a 倍
• （1）平均は a 倍 （2）偏差は a 倍 （3）分散は a² 倍 （4）標準偏差は |a| 倍
• （1）平均は変わらない （2）偏差は a 倍 （3）分散は a² 倍 （4）標準偏差は a 倍
• （1）平均は変わらない （2）偏差は a 倍 （3）分散は a² 倍 （4）標準偏差は |a| 倍

【変量の変換】⭐ a，b は定数とする 変量 x のデータから y = ax + b によって新しい変量 y のデータが得られるとする x，y の平均値を ⁻x，⁻y 分散を (s_x)²，(s_y)² 標準偏差を s_x，s_y とすると ⁻y = a ⁻x + b (s_y)² = a²(s_x)² s_y = |a| s_x と表される

【2つの変量の間の関係】 2つの変量からなるデータについて， 一方が増えると他方も増える傾向がみられる時は何と言うか。 また，一方が増えると他方が減る傾向がみられる時は何と言うか。 さらに，どちらの傾向もみられない時は何と言うか。

• 正の相関がある，負の相関がある，相関がない
• 負の相関がある，正の相関がある，相関がない
• 相関が強い，相関が弱い，相関がない

2つの変量 x，y からなるデータの散布図において x の n 個のデータの平均値を ⁻x y の n 個のデータの平均値を ⁻y とする ⁻x，⁻y を境界として，データの散布図を4つの領域に分ける ① 右上 ② 左上 ③ 左下 ④ 右下 例えば点(x₁,y₁)が ①③ にある時は (x₁-⁻x)(y₁-⁻y) > 0 ②④ にある時は (x₁-⁻x)(y₁-⁻y) < 0

【共分散】⭐ （前問の続き） 点(x₁,y₁)が ①③ にある時は (x₁-⁻x)(y₁-⁻y) > 0 ②④ にある時は (x₁-⁻x)(y₁-⁻y) < 0 だから 【 x の偏差と y の偏差 の積の平均値】を利用すると x と y の相関が調べられるようになる これを【共分散】と言い，s_xy で表す x と y の間に正の相関がある時共分散は正，負の相関がある時共分散は負となる

【共分散】⭐ 共分散 s_xy は次の式で表される s_xy = {(x₁-⁻x)(y₁-⁻y)+(x₂-⁻x)(y₂-⁻y)+...+(x_n-⁻x)(y_n-⁻y)}/n

【相関係数】⭐ 相関の【強弱】をみるために 共分散を x の標準偏差と y の標準偏差の積で割った値を考える これを x と y の相関係数と言い，r で表す つまり r = s_xy / ( s_x × s_y ) 相関係数 r は -1 ≦ r ≦ 1 であることが知られている 正の相関が強いほど 1 に近づき 負の相関が強いほど -1 に近づく 相関がない時は 0 に近い値をとる