数Ⅰ 10. 図形と計量（4）三角形，空間図形への応用⭐

Question 1

【三角形の面積】⭐
S = 1/2 bc sin A = 1/2 ca sin B = 1/2 ab sin C

【2辺とその間の角が分かれば面積が求められる！】

Accepted Answer

o

Question 2

a = 3, b = 4, C = 120° である△ABCの面積 S を求めよ。

Accepted Answer

3√3

Question 3

【三角形の面積】⭐
【3辺の長さが分かれば面積が求められる！】ヒントも

● 次の2つを思いだせ
◎ S = 1/2 bc sin A だから面積は sin A が分かれば求まる
◎ 3辺が分かっているから余弦定理より cos が求まる

余弦定理よりcos A を求め
sin² θ + cos² θ = 1 より sin A を求めたら
S = 1/2 bc sin A から面積が求められる！

Accepted Answer

o

Question 4

△ABCにおいて，a = 7, b = 8, c = 9 の時，cos A の値はいくらか。

Accepted Answer

0

Question 5

△ABCにおいて，a = 7, b = 8, c = 9 の時，cos A の値を前の問題で求めて 2/3 であった。では sin A はいくらか。

Accepted Answer

1

Question 6

△ABCにおいて，a = 7, b = 8, c = 9 の時，cos A = 2/3, sin A = √5/3 であることを先ほど求めた。では △ABCの面積 S はいくらか。

Accepted Answer

12√5

Question 7

円に内接する四角形ABCDにおいて，AB=3, BC=2, CD=2, ∠B=60° の時，ACの長さを求めよ。

Accepted Answer

0

Question 8

円に内接する四角形ABCDにおいて，ACの長さを前の問題で求めて √7 であった。ではADの長さはいくらか。

Accepted Answer

1

Question 9

円に内接する四角形ABCDにおいて，ACの長さが √7，ADの長さが 1 であることを先ほど求めた。では四角形ABCDの面積はいくらか。

Accepted Answer

2

Question 10

【三角形の内接円の半径と面積】⭐
△ABCの内接円の半径を r とすると

S = 1/2 r ( a + b + c )

小学生でもわかる公式だね

でも，逆に【面積が分かれば内接円の半径が求められる】も重要！

【3辺の長さが分かれば面積が求められる！】から
● 余弦定理よりcos A→sin A→S=1/2 bc sinA
か
● ヘロンの公式
を使って S を出し r を求める

Accepted Answer

o

Question 11

△ABCにおいて，a = 5, b = 6, c = 7 の時，cos A の値を求めよ。

Accepted Answer

5/7

Question 12

△ABCにおいて，a = 5, b = 6, c = 7 の時，cos A の値を前の問題で求めて 5/7 であった。では sin A の値はいくらか。

Accepted Answer

1

Question 13

△ABCにおいて，a = 5, b = 6, c = 7 の時，cos A の値は 5/7， sin A の値は 2√6/7 であることを求めた。では△ABCの面積はいくらか。

Accepted Answer

0

Question 14

△ABCにおいて，a = 5, b = 6, c = 7 の時，cos A の値は 5/7， sin A の値は 2√6/7， △ABCの面積は 6√6 であることを求めた。では内接円の半径はいくらか。

Accepted Answer

0

Question 15

図の直方体 ABCD-EFGH の頂点 A, F, C を結んでできる △AFC の面積 S はいくらか。

三平方の定理より3辺の長さを求めれば
【3辺の長さが分かれば面積が求められる！】
● 余弦定理よりcos A→sin A→S=1/2 bc sinA
か
● ヘロンの公式
を使って S を求める

Accepted Answer

o

Question 16

1辺の長さが a の正四面体 ABCD がある。
頂点 A から △BCD に垂線 AH を下ろした時，点 H は △BCD の何にあたるか。（答えは一つとは限らない）

Accepted Answer

0

Accepted Answer

1

Accepted Answer

2

Accepted Answer

3

Question 17

1辺の長さが a の正四面体 ABCD がある。
頂点 A から △BCD に垂線 AH を下ろした時，点 H が △BCD の 外心（外接円の中心）であるのはなぜか。

BH=CH=DHであり，B,C,Dを通る円が描けるから。
その理由は△AHB≡△AHC≡△AHDだから。
その理由はAHが共通で斜辺が等しいので，直角三角形の斜辺と他一辺がそれぞれ等しいから。

Accepted Answer

o

Question 18

1辺の長さが a の正四面体 ABCD がある。
頂点 A から △BCD に垂線 AH を下ろした時，AH の長さを求めよ。

Accepted Answer

√6/3 a

Accepted Answer

√6a / 3

Accepted Answer

√2a / √3

Accepted Answer

√2/√3 a

Question 19

1辺の長さが a の正四面体 ABCD がある。その体積は？
ただし，頂点 A から △BCD に下ろした垂線 AH は √6a / 3 であることは前の問題で求めている。

底面積は S = 1/2 ab sin A = 1/2 × a × a sin 60° = √3a² / 4 だから
体積 V = 1/3 Sh = 1/3 × √3a² / 4 × √6a / 3 = √2 a³ / 12

Accepted Answer

o

Question 20

1辺の長さが a の正四面体 ABCD がある。その高さ √6a / 3 の求め方は？
ただし，DHの延長とBCの交点を I とする。（答えは一つとは限らない）

Accepted Answer

0

Accepted Answer

1

Accepted Answer

2