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数学

数Ⅰ 08. 図形と計量(2)三角比の拡張⭐

まなぶてらす じょん先生
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公開クイズ

問題 1

OX

【座標を用いた定義】 直角三角形を使った定義だと三角比は0°<θ<90°しか求められないため,0°≦θ≦180° でも使えるように定義しなおす。 → 0°や90°や180°の三角比も求められるようになる。 原点 O を中心とする半径 r の円を描き,その円周上の点Pの座標を ( x, y ) とすると sin θ = y / r cos θ = x / r tan θ = y / x *

ヒント

* tan 90° の時は x = 0 だから tan 90° = y/x = y/0 となってしまう だから,タンジェントに限り θ ≠ 90° でなければならない!

問題 2

選択式

120°の角の正弦,余弦,正接を求めよ。

  • (1)sin 120° = √3 / 2 (2)cos 120° = 1 / 2 (3)tan 120° = √3
  • (1)sin 120° = √3 / 2 (2)cos 120° = - 1 / 2 (3)tan 120° = √3
  • (1)sin 120° = √3 / 2 (2)cos 120° = - 1 / 2 (3)tan 120° = - √3
ヒント

できる直角三角形の比は 1, 2, √3 だけど Pの座標はといえば ( -1, √3 ) とマイナスが出てくることに注意! だから cos 120° は (-1) / 2 = - (1/2) tan 120° も √3 / (-1) = - √3

問題 3

OX

【単位円の座標を用いた定義】 半径 1 の円を描き,その円周上の点Pの座標を ( x, y ) とすると sin θ = y / r = y / 1 = y cos θ = x / r = x / 1 = x tan θ = y / x ⭐超重要! 【単位円をかくと sin θ が y を,cos θ が x を, tan θ が y/x つまり 横ぶんの縦 で傾きを表す】

問題 4

選択式

0°の角の正弦,余弦,正接を求めよ。

  • (1)sin 0° = 1 (2)cos 0° = 0 (3)tan 0° = 0
  • (1)sin 0° = 0 (2)cos 0° = 1 (3)tan 0° = ×
  • (1)sin 0° = 0 (2)cos 0° = 1 (3)tan 0° = 0
  • (1)sin 0° = 1 (2)cos 0° = 0 (3)tan 0° = ×
ヒント

⭐超重要! 【単位円をかくと sin θ が y を,cos θ が x を, tan θ が y/x つまり 横ぶんの縦 で傾きを表す】 (1)sin 0° = 0(sin は点Pの y 座標だから,0°の時は0なので) (2)cos 0° = 1(cos は点Pの x 座標だから,0°の時は1なので) (3)tan 0° = 0(tan は 傾き だから,傾きは0なので)

問題 5

選択式

90°の角の正弦,余弦,正接を求めよ。

  • (1)sin 90° = 1 (2)cos 90° = 0 (3)tan 90° = 0
  • (1)sin 90° = 0 (2)cos 90° = 1 (3)tan 90° = ×
  • (1)sin 90° = 0 (2)cos 90° = 1 (3)tan 90° = 0
  • (1)sin 90° = 1 (2)cos 90° = 0 (3)tan 90° = ×
ヒント

⭐超重要! 【単位円をかくと sin θ が y を,cos θ が x を, tan θ が y/x つまり 横ぶんの縦 で傾きを表す】 (1)sin 90° = 1(sin は点Pの y 座標だから,90°の時は1なので) (2)cos 90° = 0(cos は点Pの x 座標だから,90°の時は0なので) (3)tan 90° = ×(tan は 傾き だが,傾きを表せないので)

問題 6

選択式

180°の角の正弦,余弦,正接を求めよ。

  • (1)sin 180° = 1 (2)cos 180° = 0 (3)tan 180° = 0
  • (1)sin 180° = 0 (2)cos 180° = -1 (3)tan 180° = 0
  • (1)sin 180° = 0 (2)cos 180° = -1 (3)tan 180° = ×
  • (1)sin 180° = 0 (2)cos 180° = 1 (3)tan 180° = 0
ヒント

⭐超重要! 【単位円をかくと sin θ が y を,cos θ が x を, tan θ が y/x つまり 横ぶんの縦 で傾きを表す】 (1)sin 180° = 0(sin は点Pの y 座標だから,180°の時は0なので) (2)cos 180° = -1(cos は点Pの x 座標だから,180°の時は-1なので) (3)tan 180° = 0(tan は 傾き だから,傾きは0なので)

問題 7

OX

【180° - θ の三角比】補角の三角比 sin (180° - θ) = y = sin θ cos (180° - θ) = -x = - cos θ tan (180° - θ) = y/(-x) = - y/x = - tan θ ある角度があり,それと足して 180° になる角を その角の補角と言う つまり, θ + α = 180° の時,α のことを θ の補角と言う

ヒント

y 座標は変わらず x 座標の符号だけが変わるから cos と tan だけが変わるね

問題 8

選択式

0° ≦ θ ≦ 180° の時,等式 sin θ = 1/2 を満たす θ を求めよ。

  • θ = 30°
  • θ = 30°,150°
  • θ = 60°
  • θ = 60°,120°
ヒント

まず,半径1の単位円をかく → y 軸の 1 の半分の 1/2 の所に印をつけ,1/2 と書く → 円周にぶつかるまで x 軸に平行な線を引く(2か所あるね) → その時の角度が答え

問題 9

選択式

0° ≦ θ ≦ 180° の時,等式 sin θ = 1 を満たす θ を求めよ。

  • θ = 0°
  • θ = 90°
  • θ = 180°
  • θ = 0°,180°
  • それを満たす θ はない
ヒント

まず,半径1の単位円をかく → y 軸の 1 に印をつける → 円周にぶつかるまで x 軸に平行な線を引く(ないね) → その時の角度が答え,つまり,90°

問題 10

選択式

0° ≦ θ ≦ 180° の時,等式 cos θ = - 1/2 を満たす θ を求めよ。

  • θ = 60°,120°
  • θ = 45°,135°
  • θ = 60°
  • θ = 120°
ヒント

まず,半径1の単位円をかく → x 軸の -1 の半分の - 1/2 の所に印をつけ,- 1/2 と書く → 円周にぶつかるまで y 軸に平行な線を引く(1か所しかないね) → その時の角度が答え

問題 11

選択式

0° ≦ θ ≦ 180° の時,等式 tan θ = 1 を満たす θ を求めよ。

  • θ = 45°
  • θ = 45°,135°
  • θ = 60°,120°
  • それを満たす θ はない
ヒント

まず,半径1の単位円をかく → y/x が1になるから,1/1と考えて座標 (1,1) に印をつける → O と結んでできる角度が答え,つまり,45° 別の考え方: まず,半径1の単位円をかく → y/x が1になるから,1/1と考えて,Oから右に1上に1行って円周にぶつかる点に印をつける(座標の数値は分からなくてもいい) → O と結んでできる角度が答え,つまり,45° 結果的に座標 (1/√2,1/√2) は分かるが,それは答えには無関係なので知る必要はない

問題 12

OX

【三角比の相互関係】 0° < θ < 90° で成り立っていた下の式は 0° ≦ θ ≦ 180° では成り立たない tan θ = sin θ / cos θ …⭐ sin² θ + cos² θ = 1 …⭐ tan² θ +1 = 1/cos² θ

ヒント

だまされましたね 文章をよく読もう いつも〇とは限らないよ

問題 13

選択式

0° ≦ θ ≦ 180° とする。sin θ = 1/4 の時,cos θ と tan θ の値を求めよ。(答えは一つとは限らない)

  • ( cos θ, tan θ ) = ( √15 / 4,1 / √15 ) , ( - √15 / 4,- 1 / √15 )
  • ( cos θ, tan θ ) = ( ±√15 / 4,± 1 / √15 ) (複合同順)
  • 0° < θ < 90° の時 cos θ = √15 / 4, tan θ = 1 / √15; 90° < θ < 180° の時 cos θ = - √15 / 4, tan θ = - 1 / √15
ヒント

まず,半径1の単位円をかく → y 軸の 1 の 1/4 の所に印をつけ,1/4 と書く → 円周にぶつかるまで x 軸に平行な線を引く(2か所あるね) → その時の角度が θ にあたる → この問題は θ ではなく,cos θ と tan θ を尋ねているので・・・ → 半径が 1 だから,図をよく見て,斜辺が 1! → 三平方の定理より x = ±√15 だね

問題 14

OX

【直線の傾きと正接】 tan θ = y / x であり 直線の式 y = mx + n の傾き m も 横ぶんの縦 で y / x と同じである つまり,m = tan θ である

問題 15

選択式

直線 y = √3 x と x 軸の正の向きとのなす角 θ は何度か。

  • 30°
  • 45°
  • 60°
  • 90°
ヒント

√3 = tan θ とおけるので θ = 60°

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