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Pro Plan専用マップで製作されたクイズ
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高校 1
数学

数Ⅰ 06. 2次関数(3)2次方程式と2次不等式⭐

まなぶてらす じょん先生
3
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公開クイズ

問題 1

OX

次の2次方程式を解け。 3x² - 12x + 10 = 0 x = ( 6 + √6 ) / 3

ヒント

ax² + 2b'x + c =0 (a≠0) つまり x の係数が偶数の時の解の公式は x = { -b' ± √ (b'² - ac )} / a ここの b' は x の係数そのものではなく,2で割ったものであることに注意! この問題では,b'=-6 を代入するんだね この公式を覚えたがらない人もいるけど,以下の理由から覚えることを強く勧めるよ ● 2a や 4ac がないので計算がラク ● 最後に約分する必要もない(約分が終わった式を覚えることになるから) ● x²の係数が 1 の時は分母に 1 を書かず,いきなり“分子”を書けばいいので速攻で解が求められる

問題 2

選択式

次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。 (1)x²+7x+9=0 (2)4x²-12x+9=0

  • (1)2個,(2)2個
  • (1)2個,(2)1個
  • (1)2個,(2)0個
ヒント

判別式 D=b²-4ac の符号を見るだけで分かるね D>0 なら(解の公式のルートの中身が正だから)実数解は2個 D=0 なら(解の公式のルートの中身が0だからルート部分が消えて)実数解は1個(重解,つまり,2つあるのだが同じものが2つあるので異なる解は1つだね) D<0 なら(解の公式のルートの中身が負だから,実数の範囲ではそんな数はないから)実数解は0個 (2)は x の係数が偶数だから D/4=b'²-ac の符号を調べてもいいね いずれにしても D や D/4 の正確な値を求める必要はなく,0 より大きいか小さいか 0 かさえ示せばいいね

問題 3

選択式

次の2次方程式 x² - 2x + m = 0 が異なる2つの実数解を持つ時,定数 m の値の範囲を求めよ,という問題を解く時の考え方で正しいのはどれか。(答えは一つとは限らない) ( m の範囲はヒントに記載)

  • 判別式 D = b² - 4ac = 4 - 4×1×m = 4 - 4m が > 0 という式を作って解く
  • 判別式 D/4 = b'² - ac = 1 - 1×m = 1 - m が > 0 という式を作って解く
  • 2次方程式の左辺を y とおくと,そのグラフの頂点は(平方完成すると y = ( x - 1 )² + m - 1 だから))( 1 , m - 1 ) となり,頂点が x 軸よりも下にある時,共有点を 2つ持つから m-1 < 0 を解く
ヒント

m の範囲は m < 1 だね

問題 4

選択式

次の2次方程式 x² + mx + m = 0 が重解を持つ時,定数 m の値の範囲を求めよ,また,その時の重解を求めよ,という問題を解く時の考え方で正しいのはどれか。(答えは一つとは限らない) ( m の範囲と重解はヒントに記載)

  • 判別式 D = b² - 4ac = m² - 4m = m ( m -4 )が 0 という式を作って解く
  • 2次方程式の左辺を y とおくと,そのグラフの頂点は(平方完成すると y = ( x-m/2 )² + m-m²/4 だから))( m/2, m-m²/4 ) となり,頂点が x 軸と接する時,共有点を1つ持つから m-m²/4=0 を解く
ヒント

方程式を解くと m=0, 4 となり 重解は x = -m/2 だから(重解は x= - b/2a) m=0 の時,x=0 m=4 の時,x=-2

問題 5

選択式

次の2次関数のグラフについて,グラフと x 軸の共有点の個数をそれぞれ求めよ。また,共有点を持つ場合,その座標を求めよ。 (1)y = x² - 4x +1 (2)y = x² - 4x +4 (3)y = x² - 4x +5

  • (1)D=16-4>0 (または D/4=4-1>0)より 共有点は 2個,解は x=2±√3 だから,共有点の座標は ( 2-√3, 0) と ( 2+√3, 0)
  • (2)D=16-16=0 (または D/4=4-4=0)より 共有点は 1個,解は x=2 だから,共有点の座標は ( 2, 0)
  • (3)D=16-20<0 (または D/4=4-5<0)より 共有点は 0個
ヒント

別解: 頂点の座標を求め,その y 座標が x 軸よりも上か接しているか下かで求めてもいいね

問題 6

OX

【放物線と直線の共有点】 放物線 y = ax² + bx + c 直線 y = mx + n ● 共有点の座標を求めるには連立方程式を解けばいいだけ どちらも y = ... の式だから ax² + bx + c = mx + n …⓪ とおいて x の値を求め y = ... に代入するだけ ● 共有点の個数を求めるだけなら ⓪ の判別式を調べるだけ (座標まで知る必要はないから )

ヒント

注意: 高校では直線の式を y = mx + n や y = px +q などと表すことが多いね でも y = ax + b と同じことだから 傾き m,切片 n とすぐに考えよう なぜ y = ax + b にしないかって? 今ここでそれを使うと「 y = ax² + bx + c の a と b と同じ値」であることになってしまうからだよ

問題 7

選択式

次の放物線と直線の共有点はあるか。あればその座標を求めよ。(答えは一つとは限らない) y = x² - 4x + 5 y = x + 1

  • A. x² - 4x + 5 = x + 1 とおいて x² - 5x + 4 = 0 の判別式 D を求めると D = 25 - 16 > 0 だから「共有点は(2個)ある」そこで方程式を解くと…
  • B. x² - 4x + 5 = x + 1 とおいて x² - 5x + 4 = 0 を解くと x = 1, 4。x = 1 の時 y = 2,x = 4 の時 y = 5 だから「共有点は(2個)あり,その座標は ( 1, 2 ) と (4, 5 ) 」
ヒント

A. B. どちらも正解! しかし,A. は D の符号を求めてから x と y の値を求めているから少し時間がかかるね 最初のうちは,「共有点はと言えばとりあえず D を求める」でもいいけど 色んな問題を解いて「この問題では D を求めなくてもいいな」と分かるようになるといいね

問題 8

短答式

次の放物線と直線の共有点の座標を求めよ。 y = x² - 4x + 5 y = 2x - 4

  • ( 3, 2 )

  • (3,2)

ヒント

x² - 4x + 5 = 2x - 4 を解くと ( x - 3 )² = 0 だから x = 3 簡単なほうの式 y = 2x - 4 に代入して y = 2 だね 共有点が 1つしかないということは,放物線と直線が「接している」ということだね

問題 9

選択式

次の放物線と直線が接する時,a の値を求めよ。(答えは一つとは限らない) y = x² - 2x + a y = 2x

  • A. x² - 2x + a = 2x とおいて x² - 4x + a = 0 の判別式 D/4 を求めると D/4 = 4 - a。それを = 0 とおいて a = 4
  • B. x² - 2x + a = 2x とおいて x² - 4x + a = 0 を解くと x = 2 ± √( 4 - a )。「接する」とは共有点が 1個だからルートの中身が 0 である。 4 - a = 0 とおいて a = 4
ヒント

A. B. どちらも正解! B. では,解を求める必要はないのに解を求め,ルートの中身が 0 になる時を考えているから少し手間がかかるね 色んな問題を解いて「この問題では D を求めなくてもいいな,D だけを求めたらいいかな」と分かるようになるといいね

問題 10

選択式

次の2次不等式を解け。(答えは一つとは限らない) (1)( x - 1 )( x - 2 ) ≦ 0 (2)( x - 1 )( x - 2 ) > 0

  • A.(1)1 ≦ x ≦ 2,(2)x < 1, 2 < x
  • B.(1)1 ≦ x ≦ 2,(2)x < 1, x > 2
ヒント

A. B. どちらも正解! でも数学的には B. は美しくはない

問題 11

選択式

次の2次不等式を解け。(答えは一つとは限らない) (1)( x - 1 )² < 0 (2)( x - 1 )² ≦ 0 (3)( x - 1 )² > 0

  • (1)解なし (2)x = 1 (3)x = 1 以外のすべての実数
  • (1)解なし (2)x = 1 (3)x ≠ 1
  • (1)解なし (2)解なし (3)x ≠ 1
  • (1)x = 1 (2)x = 1 (3)x ≠ 1
ヒント

このグラフの頂点は ( 1, 0 ) だから x 軸に接しているグラフだね グラフが 0 より下にあることはないから(1)は解なし グラフが 0 かそれより下にあるのは x が 1 の時だけだから(2)は x = 1 グラフが 0 より上にあるのは x が 1 の時以外だから(1)は x = 1 以外のすべての実数,または,x ≠ 1

問題 12

OX

【2次不等式の解き方】 ● x² の係数を正にする【マイナスになっていれば -1 を掛ける】 この時に不等号の向きを逆にするのを忘れないように ● 不等式ではなく = 0 とおいた方程式を解く ● それが x 軸との共有点の x 座標だから,簡単なグラフを描いてx の範囲を求める

問題 13

選択式

次の2次不等式を解け。 (1) 2x² - 5x - 3 ≧ 0 (2)-x² + 4x + 1 < 0

  • (1)-1/2 ≦ x ≦ 3 (2)1 - √3 < x < 1 - √3
  • (1)x ≦ -1/2, 3 ≦ x (2)x < 2 - √5, 2 + √5 < x
  • (1)x ≦ -1/2, 3 ≦ x (2)2 - √5 < x < 2 + √5
ヒント

(1)2x² - 5x - 3 = 0 とおいて x をまずは求めるね たすき掛けで因数分解するか,解の公式を使う (2)はまず両辺に -1 を掛けて x² - 4x - 1 > 0 にしたかな?

問題 14

選択式

次の2次不等式を解け。 (1) x² - 2x + 1 ≧ 0 (2)x² - 2x + 2 < 0

  • (1)すべての実数 (2)解なし
  • (1)x ≠ 1 (2)解なし
ヒント

(1)は x² - 2x + 1 = 0 を解いて x = 1 解が 1つということは,x 軸との共有点が 1個 つまり,x 軸と接しているということだね グラフはいつでも 0 かそれより上にあるから・・・ (2)は x² - 2x + 2 = 0 を解くと解なしになる 解がないということは,x 軸との共有点が 0個 グラフはいつでも x 軸より上にある x 軸より下に行くことはない だから,解なし

問題 15

選択式

2次方程式 x² + kx + k + 8 = 0 が実数解を持つ時,実数 k の値の範囲を求めよ。

  • 判別式 D = k² - 4( k + 8 ) ≧ 0 を解くと, k ≦ -4, 8 ≦ k
  • 判別式 D = k² - 4( k + 8 ) > 0 を解くと, k < -4, 8 < k
ヒント

「異なる2つの実数解」だと D > 0 だね 単に「実数解」としか書いていないので 重解の時もあるし異なる2つの実数解の時もあるね

問題 16

選択式

次の連立不等式を解け。 x² - 4 > 0 …① x² - 3x - 4 ≦ 0 …②

  • ① の解は x < -2, 2 < x,② の解は -1 ≦ x ≦ 4 となるから,共通範囲は 2 < x ≦ 4
  • ① の解は x < -2, 2 < x,② の解は -1 ≦ x ≦ 4 となるから,その和は x < -2, -1 < x
ヒント

どちらも満たすので共通範囲だね

問題 17

選択式

周の長さが 16m で,縦の長さが横の長さ以下の長方形状の囲いを作る。囲いの面積を 12m² 以上にするには縦の長さをどうすればよいか。

  • 0m 以上 6m 以下
  • 2m 以上 6m 以下
  • 2m 以上 4m 以下
ヒント

縦の長さを x mとおくと横の長さは ( 8-x ) m と表されるから 面積が 12 m² 以上になるには x( 8 - x ) ≧ 12 …② を解いて 2 ≦ x ≦ 6 だから,2m 以上 6m 以下 としてはいけないよ x は長さだから(負になることはない)x > 0 縦の長さは横の長さ以下だから x ≦ 8 - x より 0 < x ≦ 4 …① ①② より 2 ≦ x ≦ 4 だよ 文章題を甘く見てはいけないね

問題 18

選択式

2次関数 y=x²-2mx-m+6 のグラフが x 軸の正の部分の異なる 2点で交わる時,定数 m の範囲を求めよ,という問題を解く時に必要な条件はどれか。(答えは一つとは限らない) y = f(x) とおいて平方完成すると f(x) = (x-m)²-m²-m+6 だから頂点の座標は ( m, -m² - m + 6 ) となるから・・・

  • A. 共有点が 2個,つまり判別式 D>0 (実は「頂点の y 座標が負」と同じ)
  • B. 軸または頂点が y 軸より右側,つまり m>0
  • C. グラフと y 軸との交点の y 座標が正,つまり f(0)>0
ヒント

A. がないと x 軸との共有点がない場合も存在してしまう B. がないと y 軸の右側で共有点 2個にはならない(y 軸の左側と右側1個ずつか,y 軸の左側で2個 も含まれてしまう) C. がないと x 軸との共有点が 1個 も含まれてしまう

問題 19

短答式

2次関数 y=x²-2mx-m+6 のグラフが x 軸の正の部分の異なる 2点で交わる時,定数 m の範囲を求めよ。

  • 2 < m < 6

ヒント

y = f(x) とおいて平方完成すると f(x) = (x-m)²-m²-m+6 だから頂点の座標は ( m, -m² - m + 6 ) となるから A. 共有点が 2個,つまり判別式 D>0 より m<-3, 2<m …① B. 軸または頂点が y 軸より右側,つまり m>0 …② C. グラフと y 軸との交点の y 座標が正,つまり f(0)>0 より m<6 …③ ①②③ すべての共通範囲は 2<m<6 だね

問題 20

OX

関数 y = | x² - 1 | のグラフは図の通りである。

ヒント

● y = | | のタイプだから ふつうに y = x² - 1 のグラフを描いて,x 軸より下側の部分を折り返して描いてもよい ● 場合分けして (i) x²-1 ≧ 0 つまり x ≦ -1, 1 ≦ x の時 y = x²-1 のグラフを描き (ii) x²-1 < 0 つまり -1 < x < 1 の時 y = -(x²-1) = -x²+1 のグラフを描く のやり方があるね

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