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数学
数Ⅰ 06. 2次関数（3）2次方程式と2次不等式⭐
じゅんじ or じょん先生
3
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公開クイズ

問題 1

OX

次の2次方程式を解け。 3x² - 12x + 10 = 0 x = ( 6 + √6 ) / 3

ヒント

ax² + 2b'x + c =0 (a≠0) つまり x の係数が偶数の時の解の公式は x = { -b' ± √ (b'² - ac )} / a ここの b' は x の係数そのものではなく，2で割ったものであることに注意！ この問題では，b'=-6 を代入するんだね この公式を覚えたがらない人もいるけど，以下の理由から覚えることを強く勧めるよ ● 2a や 4ac がないので計算がラク ● 最後に約分する必要もない（約分が終わった式を覚えることになるから） ● x²の係数が 1 の時は分母に 1 を書かず，いきなり“分子”を書けばいいので速攻で解が求められる

問題 2

選択式

次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。 （1）x²+7x+9=0 （2）4x²-12x+9=0

  • （1）2個，（2）2個
  • （1）2個，（2）1個
  • （1）2個，（2）0個
ヒント

判別式 D=b²-4ac の符号を見るだけで分かるね D>0 なら（解の公式のルートの中身が正だから）実数解は2個 D=0 なら（解の公式のルートの中身が0だからルート部分が消えて）実数解は1個（重解，つまり，2つあるのだが同じものが2つあるので異なる解は1つだね） D<0 なら（解の公式のルートの中身が負だから，実数の範囲ではそんな数はないから）実数解は0個 （2）は x の係数が偶数だから D/4=b'²-ac の符号を調べてもいいね いずれにしても D や D/4 の正確な値を求める必要はなく，0 より大きいか小さいか 0 かさえ示せばいいね

問題 3

選択式

次の2次方程式 x² - 2x + m = 0 が異なる2つの実数解を持つ時，定数 m の値の範囲を求めよ，という問題を解く時の考え方で正しいのはどれか。（答えは一つとは限らない） （ m の範囲はヒントに記載）

  • 判別式 D = b² - 4ac = 4 - 4×1×m = 4 - 4m が > 0 という式を作って解く
  • 判別式 D/4 = b'² - ac = 1 - 1×m = 1 - m が > 0 という式を作って解く
  • 2次方程式の左辺を y とおくと，そのグラフの頂点は（平方完成すると y = ( x - 1 )² + m - 1 だから））( 1 , m - 1 ) となり，頂点が x 軸よりも下にある時，共有点を 2つ持つから m-1 < 0 を解く
ヒント

m の範囲は m < 1 だね

問題 4

選択式

次の2次方程式 x² + mx + m = 0 が重解を持つ時，定数 m の値の範囲を求めよ，また，その時の重解を求めよ，という問題を解く時の考え方で正しいのはどれか。（答えは一つとは限らない） （ m の範囲と重解はヒントに記載）

  • 判別式 D = b² - 4ac = m² - 4m = m ( m -4 )が 0 という式を作って解く
  • 2次方程式の左辺を y とおくと，そのグラフの頂点は（平方完成すると y = ( x-m/2 )² + m-m²/4 だから））( m/2, m-m²/4 ) となり，頂点が x 軸と接する時，共有点を1つ持つから m-m²/4=0 を解く
ヒント

方程式を解くと m=0, 4 となり 重解は x = -m/2 だから（重解は x= - b/2a） m=0 の時，x=0 m=4 の時，x=-2

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