次の2次方程式を解け。 3x² - 12x + 10 = 0 x = ( 6 + √6 ) / 3

次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。 （1）x²+7x+9=0 （2）4x²-12x+9=0

• （1）2個，（2）2個
• （1）2個，（2）1個
• （1）2個，（2）0個

次の2次方程式 x² - 2x + m = 0 が異なる2つの実数解を持つ時，定数 m の値の範囲を求めよ，という問題を解く時の考え方で正しいのはどれか。（答えは一つとは限らない） （ m の範囲はヒントに記載）

• 判別式 D = b² - 4ac = 4 - 4×1×m = 4 - 4m が > 0 という式を作って解く
• 判別式 D/4 = b'² - ac = 1 - 1×m = 1 - m が > 0 という式を作って解く
• 2次方程式の左辺を y とおくと，そのグラフの頂点は（平方完成すると y = ( x - 1 )² + m - 1 だから））( 1 , m - 1 ) となり，頂点が x 軸よりも下にある時，共有点を 2つ持つから m-1 < 0 を解く

次の2次方程式 x² + mx + m = 0 が重解を持つ時，定数 m の値の範囲を求めよ，また，その時の重解を求めよ，という問題を解く時の考え方で正しいのはどれか。（答えは一つとは限らない） （ m の範囲と重解はヒントに記載）

• 判別式 D = b² - 4ac = m² - 4m = m ( m -4 )が 0 という式を作って解く
• 2次方程式の左辺を y とおくと，そのグラフの頂点は（平方完成すると y = ( x-m/2 )² + m-m²/4 だから））( m/2, m-m²/4 ) となり，頂点が x 軸と接する時，共有点を1つ持つから m-m²/4=0 を解く

次の2次関数のグラフについて，グラフと x 軸の共有点の個数をそれぞれ求めよ。また，共有点を持つ場合，その座標を求めよ。 （1）y = x² - 4x +1 （2）y = x² - 4x +4 （3）y = x² - 4x +5

• （1）D=16-4>0 （または D/4=4-1>0）より 共有点は 2個，解は x=2±√3 だから，共有点の座標は ( 2-√3, 0) と ( 2+√3, 0)
• （2）D=16-16=0 （または D/4=4-4=0）より 共有点は 1個，解は x=2 だから，共有点の座標は ( 2, 0)
• （3）D=16-20<0 （または D/4=4-5<0）より 共有点は 0個

【放物線と直線の共有点】 放物線 y = ax² + bx + c 直線 y = mx + n ● 共有点の座標を求めるには連立方程式を解けばいいだけ どちらも y = ... の式だから ax² + bx + c = mx + n …⓪ とおいて x の値を求め y = ... に代入するだけ ● 共有点の個数を求めるだけなら ⓪ の判別式を調べるだけ （座標まで知る必要はないから ）

次の放物線と直線の共有点はあるか。あればその座標を求めよ。（答えは一つとは限らない） y = x² - 4x + 5 y = x + 1

• A. x² - 4x + 5 = x + 1 とおいて x² - 5x + 4 = 0 の判別式 D を求めると D = 25 - 16 > 0 だから「共有点は（2個）ある」そこで方程式を解くと…
• B. x² - 4x + 5 = x + 1 とおいて x² - 5x + 4 = 0 を解くと x = 1, 4。x = 1 の時 y = 2，x = 4 の時 y = 5 だから「共有点は（2個）あり，その座標は ( 1, 2 ) と (4, 5 ) 」

次の放物線と直線の共有点の座標を求めよ。 y = x² - 4x + 5 y = 2x - 4

• ( 3, 2 )

• （3,2）

次の放物線と直線が接する時，a の値を求めよ。（答えは一つとは限らない） y = x² - 2x + a y = 2x

• A. x² - 2x + a = 2x とおいて x² - 4x + a = 0 の判別式 D/4 を求めると D/4 = 4 - a。それを = 0 とおいて a = 4
• B. x² - 2x + a = 2x とおいて x² - 4x + a = 0 を解くと x = 2 ± √( 4 - a )。「接する」とは共有点が 1個だからルートの中身が 0 である。 4 - a = 0 とおいて a = 4

次の2次不等式を解け。（答えは一つとは限らない） （1）( x - 1 )( x - 2 ) ≦ 0 （2）( x - 1 )( x - 2 ) > 0

• A.（1）1 ≦ x ≦ 2，（2）x < 1, 2 < x
• B.（1）1 ≦ x ≦ 2，（2）x < 1, x > 2

次の2次不等式を解け。（答えは一つとは限らない） （1）( x - 1 )² < 0 （2）( x - 1 )² ≦ 0 （3）( x - 1 )² > 0

• （1）解なし （2）x = 1 （3）x = 1 以外のすべての実数
• （1）解なし （2）x = 1 （3）x ≠ 1
• （1）解なし （2）解なし （3）x ≠ 1
• （1）x = 1 （2）x = 1 （3）x ≠ 1

【2次不等式の解き方】 ● x² の係数を正にする【マイナスになっていれば -1 を掛ける】 この時に不等号の向きを逆にするのを忘れないように ● 不等式ではなく = 0 とおいた方程式を解く ● それが x 軸との共有点の x 座標だから，簡単なグラフを描いてx の範囲を求める

次の2次不等式を解け。 （1） 2x² - 5x - 3 ≧ 0 （2）-x² + 4x + 1 < 0

• （1）-1/2 ≦ x ≦ 3 （2）1 - √3 < x < 1 - √3
• （1）x ≦ -1/2, 3 ≦ x （2）x < 2 - √5, 2 + √5 < x
• （1）x ≦ -1/2, 3 ≦ x （2）2 - √5 < x < 2 + √5

次の2次不等式を解け。 （1） x² - 2x + 1 ≧ 0 （2）x² - 2x + 2 < 0

• （1）すべての実数 （2）解なし
• （1）x ≠ 1 （2）解なし

2次方程式 x² + kx + k + 8 = 0 が実数解を持つ時，実数 k の値の範囲を求めよ。

• 判別式 D = k² - 4( k + 8 ) ≧ 0 を解くと， k ≦ -4, 8 ≦ k
• 判別式 D = k² - 4( k + 8 ) > 0 を解くと， k < -4, 8 < k

次の連立不等式を解け。 x² - 4 > 0 …① x² - 3x - 4 ≦ 0 …②

• ① の解は x < -2, 2 < x，② の解は -1 ≦ x ≦ 4 となるから，共通範囲は 2 < x ≦ 4
• ① の解は x < -2, 2 < x，② の解は -1 ≦ x ≦ 4 となるから，その和は x < -2, -1 < x

周の長さが 16m で，縦の長さが横の長さ以下の長方形状の囲いを作る。囲いの面積を 12m² 以上にするには縦の長さをどうすればよいか。

• 0m 以上 6m 以下
• 2m 以上 6m 以下
• 2m 以上 4m 以下

2次関数 y=x²-2mx-m+6 のグラフが x 軸の正の部分の異なる 2点で交わる時，定数 m の範囲を求めよ，という問題を解く時に必要な条件はどれか。（答えは一つとは限らない） y = f(x) とおいて平方完成すると f(x) = (x-m)²-m²-m+6 だから頂点の座標は ( m, -m² - m + 6 ) となるから・・・

• A. 共有点が 2個，つまり判別式 D>0 （実は「頂点の y 座標が負」と同じ）
• B. 軸または頂点が y 軸より右側，つまり m>0
• C. グラフと y 軸との交点の y 座標が正，つまり f(0)>0

2次関数 y=x²-2mx-m+6 のグラフが x 軸の正の部分の異なる 2点で交わる時，定数 m の範囲を求めよ。

• 2 < m < 6

関数 y = | x² - 1 | のグラフは図の通りである。