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高校 1
数学

数Ⅰ 02. 数と式（2）実数，根号を含む計算⭐

まなぶてらす　じょん先生
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公開クイズ

問題 1

OX

有理数は，（1）整数，（2）有限小数，（3）循環小数であり，分数の形で表せる 無理数は循環しない無限小数であり，分数の形で表せない

ヒント

思いだそう： 整数は，（1）自然数，（2）0，（3）負の整数から成っているね

問題 2

OX

絶対値とは，数直線上で，その点と原点との距離のことである だから，絶対値の値がマイナスになることはない（0以上） よって |a|≧0 +2 の絶対値は 2 -3 の絶対値は 3 だから 正の数の絶対値は，そのまま 2 負の数の絶対値は，-3 にマイナスをつけて -(-3)=3 よって a≧0 の時 |a|=a a<0 の時 |a|=-a 要するに 【文字や式の絶対値は場合分けが必要！】

問題 3

選択式

次の値を求めよ。ただし π は円周率である。 （1）|6 - 4| （2）|4 - 6| （3）|π - 4|

  • （1）2 （2）4-6=-2 < 0 だから |-2|=-(-2)=2 （3）π-4 < 0 だから |π-4|=-(π-4)=-π+4
  • （1）2 （2）-2 （3）π-4
  • （1）2 （2）|-2|=-(-2)=2 （3）π-4

問題 4

OX

3 の平方根は √3 と -√3 つまり，±√3 である

問題 5

OX

√16 = ± 4 である

ヒント

√16 は 16 の平方根（+4と-4）のうち正の方だから √16 = 4 だけだね -√16 = -4 だね

問題 6

OX

平方根とは 2乗してその数になる数のことである だから，実数の範囲では負の数の平方根は存在しない←2乗して負になる数はない！ x=3 の時 √x²=√3²=3 ← これは x の値 x=-3 の時 √x²=√(-3)²=3 ← これは -x の値 だから a≧0 の時 √a=a a<0 の時 √a=-a 要するに 【文字や式の平方根は場合分けが必要！】

問題 7

OX

√(√2-√3)² = √2-√3 は正しい。

ヒント

√2 と √3 を比べると √3 の方が大きいから √2-√3 < 0 になる よって √(√2-√3)² =-(√2-√3) =-√2+√3 が正解！

問題 8

選択式

x = a² - 2a の時，√(x+1) を a で表せ。

  • a-1
  • a≧1 の時 a-1，a<1 の時 -a+1
ヒント

与式 =√(a²-2a+1) =√(a-1)² =|a-1| 式の絶対値だから【（絶対値記号の中身が正になったり負になったりする】場合分けが必要だね a≧1 の時 a-1 a<1 の時 -(a-1)=-a+1

問題 9

選択式

次の計算をせよ。 （1）√2√8 （2）√24 / √2

  • （1）4 （2）2√3
  • （1）√16 （2）√12
ヒント

（1）2つのやり方があるね その1： √2√8 =√(2×8) =√16 =√4² =4 その2： √2√8 =√2×2√2 =2×(√2)² =2×2 =4 （2）2つのやり方があるね その1： √24 / √2 =2√6 / √2 =2√(6/2) =2√3 その2： √24 / √2 =√(24 / 2) =√12 =2√3 どのやり方でもいいけど，その2の方がお勧めだよ 【できるだけルートの中身は小さいまま】の方針がラクだね

問題 10

選択式

次の計算をせよ。 （1）4√2 - 3√2 + √2 （2）2√48 - 3√27

  • （1）2√2 （2）-√3
  • （1）1+√2 （2）-√3
ヒント

高校生のやり方：√2は一種の文字とみて係数だけ計算すればいいから （1）4√2-3√2+√2 =(4-3+1)√2 ← この式の考え方！ =2√2 （2）2√48 - 3√27 =2×4√3-3×3√3 =8√3-9√3 =(8-9)√3 ← この式の考え方！ =-√3 もちろん，頭の中だ計算できるけど，複雑になってきた場合に係数だけ書く方法も思いだそう！

問題 11

選択式

次の計算をせよ。 （1）(√5 + √2)² （2）(2√3 - √5)(√3 + 4√5)

  • （1）7 + 2√10 （2）-14 + 7√15
  • （1）7 + √10 （2）2√9 + 7√15 - 4√25
ヒント

展開公式を使うタイプだね （1）(√5 + √2)² 【頭の中で (a+b)²=a²+2ab+b²をとなえながら，書く時は√ を使って】 与式=(√5)²+2√5√2+(√2)² =5+2√10+2 =7+2√10 （2）(2√3 - √5)(√3 + 4√5) =2(√3)²+(2×4-1×1)√15-4(√5)² ← この式の書き方！ =6+7√15-20 =-14+7√15

問題 12

選択式

次の式の分母を有理化せよ。 √2 / (√6 + √5)

  • √12-√10
  • 2√3-√10
  • 2√3+√10
ヒント

分母と分子に √6 や √5 を掛けても，分母からルートは消えない だから，展開公式が使えないか考えてみると (a+b)(a-b) = a² - b² となり，ルートがはずれることが分かる だから，この問題では √6-√5 を分母と分子に掛けて √2 / (√6 + √5) =√2(√6-√5) / (√6+√5)(√6-√5) =√2(√6-√5) / (6-5) =√2(√6-√5) / 1 =√2×√2√3-√2√5 ← ここで，√12 とするのではなく √6 を √2×√3 と考えれば暗算で求められるね =2√3-√10

問題 13

選択式

次の問題を解く時のお勧めの考え方は。その後問題を解け。（答えはヒントに記載） x = 1 / (1 + √2), y = 1 / (1 - √2) の時，次の式を求めよ。 （1）x + y と xy （2）x² + y²

  • 強引に計算するのがかっこいい！
  • 対称式であることに注目してスマートに！
  • 対称式って何？
ヒント

（1）は計算するしかなく・・・ xy ={1/(1+√2)}{1/(1-√2)} =1/(1-2) =-1 しかし，x+y は 2つのやり方があるよ その1：x も y も分母を有理化して足す その2：分数の足し算のように通分する（例えば 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6） x+y =1 / (1+√2) + 1 / (1-√2) ={(1-√2)+(1+√2) }/(1+√2)(1-√2) =2/(1-2) =-2 （2）x²+y²=(x+y)²-2xy を利用して 与式 =(-2)²-2×(-1) =4+2 =6

問題 14

OX

2重根号（ルートの中にルートがある式）は必ず根号を外せる

ヒント

いつもできるわけではないよ

問題 15

選択式

次の問題を解く時の考え方は。その後問題を解け。（答えはヒントに記載） 次の式の2重根号を外せ。 （1）√(4+2√3) （2）√(9+4√2) （3）√(3-√5)

  • 求められない
  • ルートの中身が ●+2√▲ か ●-2√▲ となるように変形し，足して●掛けて▲になる 2数を探す（ただし，引き算の場合は 2数が√大-√小となるように書く）
ヒント

（1）√(4+2√3) =√3+√1 =√3+1 （2）√(9+4√2) =√{9+2×√(2²×2)} =√(9+2√8) =√8+√1 =2√2+1 （3）√(3-√5) =√{(6-2√5)/2} ← 2√▲ を作るために無理やり 2で割る =√(6-2√5) / √2 =(√5-√1) / √2 ← √1-√5 としないように！ =(√10-√2)/2 ← 分母を有理化

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