問題 1OX 問題
有理数は，（1）整数，（2）有限小数，（3）循環小数であり，分数の形で表せる
無理数は循環しない無限小数であり，分数の形で表せない
ヒント
思いだそう：
整数は，（1）自然数，（2）0，（3）負の整数から成っているね
数Ⅰ 02. 数と式（2）実数，根号を含む計算⭐
じゅんじ or じょん先生
順番あり
高校 1
数学
数Ⅰ 02. 数と式（2）実数，根号を含む計算⭐
2
14
2
高校 1
数学
数Ⅰ 02. 数と式（2）実数，根号を含む計算⭐
2
14
2
15問
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公開クイズ
問題 2OX 問題
絶対値とは，数直線上で，その点と原点との距離のことである
だから，絶対値の値がマイナスになることはない（0以上）
よって
|a|≧0
+2 の絶対値は 2
-3 の絶対値は 3
だから
正の数の絶対値は，そのまま 2
負の数の絶対値は，-3 にマイナスをつけて -(-3)=3
よって
a≧0 の時 |a|=a
a<0 の時 |a|=-a
要するに
【文字や式の絶対値は場合分けが必要！】
問題 3選択式
次の値を求めよ。ただし π は円周率である。
（1）|6 - 4|
（2）|4 - 6|
（3）|π - 4|
（1）2 （2）4-6=-2 < 0 だから |-2|=-(-2)=2 （3）π-4 < 0 だから |π-4|=-(π-4)=-π+4
（1）2 （2）-2 （3）π-4
（1）2 （2）|-2|=-(-2)=2 （3）π-4
問題 4OX 問題
3 の平方根は
√3 と -√3
つまり，±√3 である
問題 5OX 問題
√16 = ± 4 である
ヒント
√16 は 16 の平方根（+4と-4）のうち正の方だから
√16 = 4 だけだね
-√16 = -4 だね
問題 6OX 問題
平方根とは 2乗してその数になる数のことである
だから，実数の範囲では負の数の平方根は存在しない←2乗して負になる数はない！
x=3 の時 √x²=√3²=3 ← これは x の値
x=-3 の時 √x²=√(-3)²=3 ← これは -x の値
だから
a≧0 の時 √a=a
a<0 の時 √a=-a
要するに
【文字や式の平方根は場合分けが必要！】
問題 7OX 問題
√(√2-√3)² = √2-√3 は正しい。
ヒント
√2 と √3 を比べると √3 の方が大きいから
√2-√3 < 0 になる
よって
√(√2-√3)²
=-(√2-√3)
=-√2+√3
が正解！
問題 8選択式
x = a² - 2a の時，√(x+1) を a で表せ。
a-1
a≧1 の時 a-1，a<1 の時 -a+1
ヒント
与式
=√(a²-2a+1)
=√(a-1)²
=|a-1|
式の絶対値だから【（絶対値記号の中身が正になったり負になったりする】場合分けが必要だね
a≧1 の時 a-1
a<1 の時 -(a-1)=-a+1
問題 9選択式
次の計算をせよ。
（1）√2√8
（2）√24 / √2
（1）4 （2）2√3
（1）√16 （2）√12
ヒント
（1）2つのやり方があるね
その1：
√2√8
=√(2×8)
=√16
=√4²
=4
その2：
√2√8
=√2×2√2
=2×(√2)²
=2×2
=4
（2）2つのやり方があるね
その1：
√24 / √2
=2√6 / √2
=2√(6/2)
=2√3
その2：
√24 / √2
=√(24 / 2)
=√12
=2√3
どのやり方でもいいけど，その2の方がお勧めだよ
【できるだけルートの中身は小さいまま】の方針がラクだね
問題 10選択式
次の計算をせよ。
（1）4√2 - 3√2 + √2
（2）2√48 - 3√27
（1）2√2 （2）-√3
（1）1+√2 （2）-√3
ヒント
高校生のやり方：√2は一種の文字とみて係数だけ計算すればいいから
（1）4√2-3√2+√2
=(4-3+1)√2 ← この式の考え方！
=2√2
（2）2√48 - 3√27
=2×4√3-3×3√3
=8√3-9√3
=(8-9)√3 ← この式の考え方！
=-√3
もちろん，頭の中だ計算できるけど，複雑になってきた場合に係数だけ書く方法も思いだそう！
問題 11選択式
次の計算をせよ。
（1）(√5 + √2)²
（2）(2√3 - √5)(√3 + 4√5)
（1）7 + 2√10 （2）-14 + 7√15
（1）7 + √10 （2）2√9 + 7√15 - 4√25
ヒント
展開公式を使うタイプだね
（1）(√5 + √2)² 【頭の中で (a+b)²=a²+2ab+b²をとなえながら，書く時は√ を使って】
与式=(√5)²+2√5√2+(√2)²
=5+2√10+2
=7+2√10
（2）(2√3 - √5)(√3 + 4√5)
=2(√3)²+(2×4-1×1)√15-4(√5)² ← この式の書き方！
=6+7√15-20
=-14+7√15
問題 12選択式
次の式の分母を有理化せよ。
√2 / (√6 + √5)
√12-√10
2√3-√10
2√3+√10
ヒント
分母と分子に √6 や √5 を掛けても，分母からルートは消えない
だから，展開公式が使えないか考えてみると
(a+b)(a-b) = a² - b²
となり，ルートがはずれることが分かる
だから，この問題では √6-√5 を分母と分子に掛けて
√2 / (√6 + √5)
=√2(√6-√5) / (√6+√5)(√6-√5)
=√2(√6-√5) / (6-5)
=√2(√6-√5) / 1
=√2×√2√3-√2√5 ← ここで，√12 とするのではなく √6 を √2×√3 と考えれば暗算で求められるね
=2√3-√10
問題 13選択式
次の問題を解く時のお勧めの考え方は。その後問題を解け。（答えはヒントに記載）
x = 1 / (1 + √2), y = 1 / (1 - √2) の時，次の式を求めよ。
（1）x + y と xy
（2）x² + y²
強引に計算するのがかっこいい！
対称式であることに注目してスマートに！
対称式って何？
ヒント
（1）は計算するしかなく・・・
xy
={1/(1+√2)}{1/(1-√2)}
=1/(1-2)
=-1
しかし，x+y は 2つのやり方があるよ
その1：x も y も分母を有理化して足す
その2：分数の足し算のように通分する（例えば 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6）
x+y
=1 / (1+√2) + 1 / (1-√2)
={(1-√2)+(1+√2) }/(1+√2)(1-√2)
=2/(1-2)
=-2
（2）x²+y²=(x+y)²-2xy を利用して
与式
=(-2)²-2×(-1)
=4+2
=6
問題 14OX 問題
2重根号（ルートの中にルートがある式）は必ず根号を外せる
ヒント
いつもできるわけではないよ
問題 15選択式
次の問題を解く時の考え方は。その後問題を解け。（答えはヒントに記載）
次の式の2重根号を外せ。
（1）√(4+2√3)
（2）√(9+4√2)
（3）√(3-√5)
求められない
ルートの中身が ●+2√▲ か ●-2√▲ となるように変形し，足して●掛けて▲になる 2数を探す（ただし，引き算の場合は 2数が√大-√小となるように書く）
ヒント
（1）√(4+2√3)
=√3+√1
=√3+1
（2）√(9+4√2)
=√{9+2×√(2²×2)}
=√(9+2√8)
=√8+√1
=2√2+1
（3）√(3-√5)
=√{(6-2√5)/2} ← 2√▲ を作るために無理やり 2で割る
=√(6-2√5) / √2
=(√5-√1) / √2 ← √1-√5 としないように！
=(√10-√2)/2 ← 分母を有理化
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