【直線の方程式】⭐ x, y の 1次式 ax+by+c=0 の表す図形は直線である ここで，a, b, c は定数で a≠0 または b≠0 である → a か b のどっちかは 0 になってもいい （どっちも 0 はダメ，c=0 になってしまうから） a=0 の時 y=- c/b（＝定数） となり，y 軸に垂直な直線 b=0 の時 x=- c/a（＝定数）となり，x 軸に垂直な直線

【直線の方程式（0）基本】⭐ ● 一般形 ax + by + c = 0 （a≠0 または b≠0） ● 基本形（グラフが描ける形） y = mx + n （傾き m，切片 n） →中学校では y = ax + b と習った

【直線の方程式（1）1点を通る】⭐ ● 点 (x₁, y₁) を通る直線の式 ◎ 傾きが m なら y - y₁ = m( x - x₁ ) …＊ ◎ x 軸に垂直なら x = x₁ ◎ y 軸に垂直なら y = y₁ ＊の導き方 傾き m の直線の式 y = mx + n …① が点 (x₁, y₁) を通る時 y₁ = mx₁ + n …② ①-②より y-y₁=m(x-x₁)

点 (1, -3) を通り，傾きが 2 の直線の方程式を求めよ。（答えは一つとは限らない）

• A. y=ax+b に a=2 を代入して，y=2x+b → x=1, y=-3 を代入して，b=-5 → y=2x-5
• B. y-y₁=m(x-x₁) に すべて代入して，y-(-3)=2(x-1) → y=2x-5

【直線の方程式（2）2点を通る】⭐ヒントも見てね ● 2点 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) を通る直線の式 ◎ x₁≠x₂ の時（傾きがmなら y-y₁=m(x-x₁) だから） y - y₁ = (y₂-y₁)/(x₂-x₁) × ( x - x₁ ) …① ◎ x₁=x₂ の時（直線AB は x 軸に垂直だから） x=x₁（もちろん x=x₂ でもある）…②

2点 (1, 2), (3, -4) を通る直線の方程式を求めよ。（答えは一つとは限らない）

• A. y=ax+b に (1, 2), (3, -4) を代入して，2=a+b と -4=3a+b→ 連立方程式を解いて a=-3, b=5 → y=-3x+5
• B. y-y₁=(y₂-y₁)/(x₂-x₁) × (x-x₁) に すべて代入して，y-2=(-4-2)/(3-1)×(x-1) → y=-3x+5

【直線の方程式（3）x切片とy切片】⭐ ● x切片と y切片 が与えられた直線の式 x/a + y/b = 1 …＊ ＊の導き方 2点 (a, 0), (0, b) を通る直線だから y-0=(b-0)/(0-a) × (x-a) より y=- b/a x + b bx/a+y=b の両辺を b で割ると x/a+y/b=1

x切片が4，y切片が-2の直線の方程式を求めよ。（答えは一つとは限らない）

• A. y=ax-2 に (4, 0) を代入して，0=4a-2 → a=1/2 → y=1/2 x - 2
• B. x/a+y/b=1 に代入して，x/4-y/2=1

【2直線の平行・垂直】⭐ 2直線 y=m₁x+n₁, y=m₂x+n₂ について 2直線が平行 ⇔ m₁//m₂ 【傾きが同じ】 2直線が垂直 ⇔ m₁･m₂ 【傾きの積が -1】

点A(2, 1) を通り，直線 2x+3y+4=0 に平行な直線，垂直な直線の方程式をそれぞれ求めよ。

• A. 平行な直線 y=- 2x/3+7/3，垂直な直線 y=- 3x/2-2
• B. 平行な直線 y=- 2x/3+7/3，垂直な直線 y=3x/2-2

【1点を通り，ある直線に平行な直線と垂直な直線の式（一般形）】⭐（ヒントも見てね） 点 (x₁, y₁) を通り，直線 ax+by+c=0 に平行な直線と垂直な直線は 平行な直線 a(x-x₁)+b(y-y₁)=0 …① 垂直な直線 b(x-x₁)-a(y-y₁)=0 …② ①は a, b はそのままで x-x₁, y-y₁ ②は -a, b を入れ替えて x-x₁, y-y₁

点A(2, 1) を通り，直線 2x+3y+4=0 に平行な直線，垂直な直線の方程式をそれぞれ求めよ。

• A. 平行な直線 2x+3y-7=0，垂直な直線 3x+2y-8=0
• A. 平行な直線 2x+3y-7=0，垂直な直線 3x-2y-4=0

【線対称の点】⭐ 直線 ℓ に関して対称な点 P, Q [1] PQ ⊥ ℓ [2] 線分PQ の中点が ℓ 上にある ⇒ Q(a, b) とおいて，a, b についての連立方程式を解けばいい！

直線ℓ：x+y+1=0 に関して点P(3, 2) と対称な点Q の座標を求めよ。

• (-3, -4)

• （-3，-4）

【原点と直線の距離】 まずは，原点 O と直線 ax+by+c=0 の距離 d は d=|c|/√(a²+b²) 理由： 点 (x₁, y₁) を通り，直線 ax+by+c=0 に平行な直線と垂直な直線は 平行な直線 a(x-x₁)+b(y-y₁)=0 垂直な直線 b(x-x₁)-a(y-y₁)=0 だったから・・・ 続きはヒントを見てね

【点と直線との距離】⭐これは覚えよ！ 点P(x₁, y₁) と直線ℓ ax+by+c=0 の距離 d は d=|ax₁+by₁+c|/√(a²+b²) 覚え方： ● 絶対値の中身は，直線の式を書いて (x₁, y₁) を代入 ● ルートの中身は，x, y の係数の 2乗の和

点(2, 3) と直線 3x-4y=4 との距離を求めよ。

• 2

放物線 y=x²-4x+5 上の点P と直線 2x+y+3=0 との距離の最小値とその時の P の座標を求めよ。 答え 距離の最小値は 7/√5（有利化すると7√5/5） P の座標は (1, 2)

【2直線の交点P と他の 1点Q を通る直線】⭐ 2直線 f(x, y)=0 …① と g(x, y)=0 …② の 交点P と他の 1点Q を通る直線は f(x, y) + k g(x, y) = 0 …③ を考えて 点Q の座標を代入し k を求めればよい

2直線 4x+11y=19 …①，2x+3y=7 …② の交点を通り，点(5, 4) を通る直線の方程式を求めよ。 その解き方として正しいのはどれか。（答えは一つとは限らない）

• A. k を定数として 4x+11y-19+k(2x+3y-7)=0 …③ とすると，③は 2直線の交点を通る直線を表す。 直線③が点(5, 4) を通るから ③に (5, 4) を代入して 45+15k=0 k=-3 それを③に代入して整理すると x-y-1=0
• B. ①と②の交点の座標を求めると (2, 1) だから，2点 (2, 1) と (5, 4) を通る直線の方程式は (4-1)(x-2)-(5-2)(y-1)=0 すなわち x-y-1=0