1辺の長さが a の正四面体 ABCD がある。その高さ √6a / 3 の求め方は?
ただし,DHの延長とBCの交点を I とする。(答えは一つとは限らない)
A. 点Hを外心と考えると:△BCDに正弦定理を適用して a/sin 60°=2R より R つまり BH を求める → △ABH に三平方の定理を適用して AH²=√(AB²-R²)
B. 点Hを内心と考えると:△BCDの面積を2通りで表す(S=1/2 r(a+b+c) と S=底辺×高さ÷2 か S=1/2 bc sin 60° → r つまり HI が求まる → △AIH に三平方の定理を適用して AH² = √(AI² - HI²)
C. 点Hを重心と考えると:重心は中線を2:1に内分するから HI = 1/3 DI → △AIH に三平方の定理を適用して AH²=√(AI²-HI²)
3つのやり方全部で求めよう!解答の“引き出し”が増え計算力もつくよ
R=a/√3→有理化して√3a/3
r=√3a/6
になった?
また
AI は△ABIで 1:2:√3 から すぐに √3a / 2 と求まるね
さらに DI=AI だね
通常はここからさらに,体積を求めよ,と続くから結局は底面積を求めるよ
一応答えは
S=√3a² / 4
V=√2a³ / 12
正三角形では重心・内心・外心が一致するから(垂心も)
◎DHの中点をJとすると,DJ=JH=HI
◎HIが内接円の半径,DHが外接円の半径,内接円はJを通る
◎r+R=高さ,2r=R
この結果を知っておいて損はないよ