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SMA 1
数学

数Ⅰ 09. 図形と計量（3）正弦定理と余弦定理⭐

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じゅんじ or じょん先生

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# 1Benar/Salah
中学校で習った三角形の合同条件は以下である。 （1）3辺がそれぞれ等しい （2）2辺とその間の角がそれぞれ等しい （3）1辺とその両端の角がそれぞれ等しい これらと三角比の問題を関連付けて考えると覚えやすいよ
# 2Pilihan ganda
【正弦定理】⭐ a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R はどんな時に使うか。（答えは一つとは限らない） 三角形の「向かい合っている辺と角」に注目！
Question image
A. 当然【外接円の半径】といえば正弦定理
B. 例えば a / sin A = b / sin B だから 三角形の【1辺と2角】が分かる時，他の1辺が求まる
C. 例えば a / sin A = b / sin B だから 三角形の【2辺と1角】が分かる時，他の1角が求まる
D. 例えば a / sin A = 2R より，sin A = a / 2R だから（2Rは出てきてしまうが）【角度をやめて辺だけの式にすることができる】
Petunjuk
B. は三角形の合同条件「1辺とその両端の角がそれぞれ等しい」と似ているね でも両端の角である必要はない なぜ？ 2角が分かっていれば（180°から引いて）残りの角も求まるから 結局は両端の角も分かるんだね C. は三角形の合同条件「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」と似ているね でもその間の角である必要はない ただし，0°≦θ≦180° では sin は 2つ角度が出てくることに注意してね
# 3Jawaban singkat
△ABCにおいて，b=√6，A=45°，B=60°の時，a を求めよ。
2
a = 2
Petunjuk
a / sin A = b / sin B に代入して・・・
# 4Pilihan ganda
【余弦定理】⭐ a² = b² + c² - 2bc cos A b² = c² + a² - 2ca cos B c² = a² + b² - 2ab cos C はどんな時に使うか。（答えは一つとは限らない）
Question image
A. 例えば a² = b² + c² - 2bc cos A だから 三角形の【2辺とその間の角】が分かる時，他の1辺が求まる
B. 例えば a² = b² + c² - 2bc cos A より，cos A = ( b² + c² - a² ) / 2bc だから三角形の【3辺】が分かる時，他の1角が求まる！実際，どの角でも求められる
C. 例えば a² = b² + c² - 2bc cos A より，cos A = ( b² + c² - a² ) / 2bc だから（一見複雑になったように見えるが）【角度をやめて辺だけの式にすることができる】
Petunjuk
この公式の図形的意味が重要！ 【直角三角形がそうでなくなった時，斜辺がどの程度伸び縮みするかを示している！】 A が 90° になって直角三角形になったら？ a² = b² + c² という三平方の定理になるね だから Aが鋭角の時は a は その斜辺よりは短くなり どれだけ短くなるかを示しているのが 2bc cos A！ Aが鈍角の時は a は その斜辺よりは長くなり どれだけ長くなるかを示しているのが 2bc cos A！ （鈍角の時 cos A はマイナスになるから - cos A はプラスになるね）
# 5Jawaban singkat
△ABCにおいて，b = √3，c = 2，A = 150° の時，a を求めよ。
√13
a=√13
Petunjuk
角A が分かっているから，a² = の式を使うよ
# 6Pilihan ganda
△ABCにおいて，a = 2，b = √6，B = 60° の時，c を求めよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。【答えはヒントに記載】
Question image
A.「 c を求めよ」とあるので余弦定理の c² = の式を使う。
B. a, b, B が分かっているので正弦定理を使って 角A を求め，そこから 角C を求め，余弦定理の c² = の式を使う。
C.「 c を求めよ」とあるが 角B の値が分かっているので余弦定理の b² = の式を使う。
Petunjuk
A. のやり方だと cos C が分からないから行き詰ってしまう B. のやり方だとこの問題では，sin A = 1 / √6 となって行き詰ってしまう C. だと b² = c² + a² - 2ca cos B より c² - 2c - 2 = 0 となるから，解の公式を使って c = 1 ±√3 c > 0 より（ c は辺の長さだからマイナスになることはない） c = 1 + √3
# 7Jawaban singkat
△ABCにおいて，a = 3，b = 2，c = √7 の時，C を求めよ。
60
60°
60度
Petunjuk
C を求めよとあるので c² = a² + b² - 2ab cos C を変形して cos C = ( a² + b² - c² ) / 2ab に代入して・・・
# 8Pilihan ganda
△ABCにおいて，a = 2，b = √3 + 1，C = 60° の時，残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。
c = √6，A = 45°と135°，B = 75°
c = √6，A = 45°，B = 75°
Petunjuk
2辺とその間の角が分かっているから余弦定理を使う （正弦定理を使おうとしても A, B, c が分からないから式を作れない） しかも C が分かっているから c² = の式を使う c² = 6 より c > 0 だから c = √6 a² = の余弦定理を頭の中で変形して cos A = の式を作り，全て代入して A = 45° だから B = 180° - 45° - 75° = 75°
# 9Pilihan ganda
△ABCにおいて，b = √2，B = 30°，c = 2 の時，A，C，a を求めよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。（答えは一つとは限らない）【答えはヒントに記載】
A. 2辺と1角が分かっているから，正弦定理を使って C を求める→C には 2通りの答えがあるので，それぞれの場合に分けて A を求める→余弦定理を使おうとしても cos A が分からない→しかし，図をかいてみると（AからBCへおろした垂線の足をHとすると）a=BH+CHやa=BH-CHとなることが分かるから求められる
B. 角Bが分かっているから，余弦定理 b² = の式を使うと a についての2次方程式ができ，それを解くと a が求まる→a には 2通りの答えがあるので，それぞれの場合に分けて c² = の余弦定理から C を求める→Aも求まる
Petunjuk
答え： C=45°の時，A=105°，a=√3+1 C=135°の時，A=15°，a=√3-1 ちなみに B. で a が求まった後 a² = の余弦定理を使うと cos A が分からないので行き詰ってしまう→そこで c² = の式を使うんだよ また A. で使ったことを覚えておくと将来使えるよ（それは次の問題で）
# 10Benar/Salah
【余弦定理の別の表現】⭐ a = c cos B + b cos C b = a cos C + c cos A c = b cos A + a cos B
Question image
Petunjuk
図より角Bも角Cも鋭角なら，BC つまり a は a = c cos B + b cos C 図より角Cが鈍角なら，BC つまり a は a = BH-CH = c cos B - b cos ( 180° - C ) = c cos B - ( - b cos C ) = c cos B + b cos C だから a = c cos B + b cos C は鈍角でも鋭角でも成り立つ！
# 11Benar/Salah
【正弦定理の別の表現】⭐ a : b : c = sin A : sin B : sin C a/sin A=b/sin B=c / sin C=2R より a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C だから a : b : c =2Rsin A : 2Rsin B : 2Rsin C = sin A : sin B : sin C
# 12Benar/Salah
【三角形の辺と角】 角度・辺・sin の大小順は同じ，cos だけ逆順…⭐ （ 角度が大きくなると sin は増えて，cos は減るから） ● 正弦定理より a : b : c = sin A : sin B : sin C ● 対応する辺と角の大小は一致する（最大辺⇔最大角） ● A < B < C ⇔ sin A < sin B < sin C，cos A > cos B > cos C
# 13Pilihan ganda
△ABCにおいて，次の等式が成り立つ時，この三角形の最大の角を求めよ。 sin A : sin B : sin C = 7 : 5 : 3 30° を選ぶなんてありえないよ 最大角が30° はないでしょう！
Question image
30°
90°
120°
150°
Petunjuk
正弦定理より a:b:c=sin A:sin B:sin C だから a:b:c=7:5:3 この時，正の数kを用いて a=7k, b=5k, c=3 と表すことができる aが最大辺だから，Aが最大角である 余弦定理より cos A = {(5k)²+(3k)²-(7k)²}/(2×5k×3k)=- 1/2 よって，最大角は A=120° ★ここで，a=7, b=5, c=3 とするのは結果は同じでも間違い！（比と長さは別のものだから） ⭐a : b : c = 7 : 5 : 3 である△ABCは，三角形の大きさに関係なく，常に A=120° となる！
# 14Pilihan ganda
△ABCにおいて，次の等式が成り立つことを証明せよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。【答えはヒントに記載】 a sin A sin C + b sin B sin C = c ( sin² A + sin² B )
やり方が思い浮かばない
ここで，正弦定理の出番だ！ a / sin A = 2R より sin A = a / 2R だから同様に sin B, sin C も表せて，左辺を整理し，右辺も整理したらどちらも同じ式になるはず
Petunjuk
a sin A sin C + b sin B sin C = c ( sin² A + sin² B ) で （左辺） = a × a/2R × c/2R + b × b/2R × c/2R = c(a²+b²)/4R² また（右辺） = c { (a/2R)² + ( b/2R)² } = c { (a²+b²)/4R² } = c(a²+b²)/4R² だから与式は成り立つ
# 15Pilihan ganda
△ABCにおいて，次の等式が成り立つことを証明せよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。【答えはヒントに記載】 a ( b cos C - c cos B ) = b² - c²
やり方が思い浮かばない
ここは余弦定理の出番だ！ cos C=(a²+b²-c²)/2ab，同様に cos B を左辺に代入して整理すれば右辺になるはず
Petunjuk
a ( b cos C - c cos B ) = b² - c² で （左辺） = a { b × (a²+b²-c²)/2ab - c × (c²+a²-b²)/2ca } = { (a²+b²-c²) - (c²+a²-b²) } / 2 = (2b²-2c²)/2 = b²-c² =（右辺）
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