数Ⅰ 09. 図形と計量（3）正弦定理と余弦定理⭐

Question 1

中学校で習った三角形の合同条件は以下である。 （1）3辺がそれぞれ等しい （2）2辺とその間の角がそれぞれ等しい （3）1辺とその両端の角がそれぞれ等しい これらと三角比の問題を関連付けて考えると覚えやすいよ

Accepted Answer

O

Question 2

【正弦定理】⭐ a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R はどんな時に使うか。（答えは一つとは限らない） 三角形の「向かい合っている辺と角」に注目！

Accepted Answer

A. 当然【外接円の半径】といえば正弦定理, B. 例えば a / sin A = b / sin B だから 三角形の【1辺と2角】が分かる時，他の1辺が求まる, C. 例えば a / sin A = b / sin B だから 三角形の【2辺と1角】が分かる時，他の1角が求まる, D. 例えば a / sin A = 2R より，sin A = a / 2R だから（2Rは出てきてしまうが）【角度をやめて辺だけの式にすることができる】

Question 3

△ABCにおいて，b=√6，A=45°，B=60°の時，a を求めよ。

Accepted Answer

2, a = 2

Question 4

【余弦定理】⭐ a² = b² + c² - 2bc cos A b² = c² + a² - 2ca cos B c² = a² + b² - 2ab cos C はどんな時に使うか。（答えは一つとは限らない）

Accepted Answer

A. 例えば a² = b² + c² - 2bc cos A だから 三角形の【2辺とその間の角】が分かる時，他の1辺が求まる, B. 例えば a² = b² + c² - 2bc cos A より，cos A = ( b² + c² - a² ) / 2bc だから三角形の【3辺】が分かる時，他の1角が求まる！実際，どの角でも求められる, C. 例えば a² = b² + c² - 2bc cos A より，cos A = ( b² + c² - a² ) / 2bc だから（一見複雑になったように見えるが）【角度をやめて辺だけの式にすることができる】

Question 5

△ABCにおいて，b = √3，c = 2，A = 150° の時，a を求めよ。

Accepted Answer

√13, a=√13

Question 6

△ABCにおいて，a = 2，b = √6，B = 60° の時，c を求めよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。【答えはヒントに記載】

Accepted Answer

C.「 c を求めよ」とあるが 角B の値が分かっているので余弦定理の b² = の式を使う。

Question 7

△ABCにおいて，a = 3，b = 2，c = √7 の時，C を求めよ。

Accepted Answer

60, 60°, 60度

Question 8

△ABCにおいて，a = 2，b = √3 + 1，C = 60° の時，残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。

Accepted Answer

c = √6，A = 45°，B = 75°

Question 9

△ABCにおいて，b = √2，B = 30°，c = 2 の時，A，C，a を求めよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。（答えは一つとは限らない）【答えはヒントに記載】

Accepted Answer

A. 2辺と1角が分かっているから，正弦定理を使って C を求める→C には 2通りの答えがあるので，それぞれの場合に分けて A を求める→余弦定理を使おうとしても cos A が分からない→しかし，図をかいてみると（AからBCへおろした垂線の足をHとすると）a=BH+CHやa=BH-CHとなることが分かるから求められる, B. 角Bが分かっているから，余弦定理 b² = の式を使うと a についての2次方程式ができ，それを解くと a が求まる→a には 2通りの答えがあるので，それぞれの場合に分けて c² = の余弦定理から C を求める→Aも求まる

Question 10

【余弦定理の別の表現】⭐ a = c cos B + b cos C b = a cos C + c cos A c = b cos A + a cos B

Accepted Answer

O

Question 11

【正弦定理の別の表現】⭐ a : b : c = sin A : sin B : sin C a/sin A=b/sin B=c / sin C=2R より a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C だから a : b : c =2Rsin A : 2Rsin B : 2Rsin C = sin A : sin B : sin C

Accepted Answer

O

Question 12

【三角形の辺と角】角度・辺・sin の大小順は同じ，cos だけ逆順…⭐ （角度が大きくなると sin は増えて，cos は減るから） ● 正弦定理より a : b : c = sin A : sin B : sin C ● 対応する辺と角の大小は一致する（最大辺⇔最大角） ● A < B < C ⇔ sin A < sin B < sin C，cos A > cos B > cos C

Accepted Answer

O

Question 13

△ABCにおいて，次の等式が成り立つ時，この三角形の最大の角を求めよ。 sin A : sin B : sin C = 7 : 5 : 3 30° を選ぶなんてありえないよ 最大角が30° はないでしょう！

Accepted Answer

120°

Question 14

△ABCにおいて，次の等式が成り立つことを証明せよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。【答えはヒントに記載】 a sin A sin C + b sin B sin C = c ( sin² A + sin² B )

Accepted Answer

ここで，正弦定理の出番だ！ a / sin A = 2R より sin A = a / 2R だから同様に sin B, sin C も表せて，左辺を整理し，右辺も整理したらどちらも同じ式になるはず

Question 15

△ABCにおいて，次の等式が成り立つことを証明せよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。【答えはヒントに記載】 a ( b cos C - c cos B ) = b² - c²

Accepted Answer

ここは余弦定理の出番だ！ cos C=(a²+b²-c²)/2ab，同様に cos B を左辺に代入して整理すれば右辺になるはず