B. は三角形の合同条件「1辺とその両端の角がそれぞれ等しい」と似ているね
でも両端の角である必要はない
なぜ？
2角が分かっていれば（180°から引いて）残りの角も求まるから
結局は両端の角も分かるんだね


C. は三角形の合同条件「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」と似ているね
でもその間の角である必要はない
ただし，0°≦θ≦180° では sin は 2つ角度が出てくることに注意してね

a / sin A = b / sin B に代入して・・・

この公式の図形的意味が重要！
【直角三角形がそうでなくなった時，斜辺がどの程度伸び縮みするかを示している！】

A が 90° になって直角三角形になったら？
a² = b² + c²
という三平方の定理になるね

だから
Aが鋭角の時は a は
その斜辺よりは短くなり
どれだけ短くなるかを示しているのが 2bc cos A！

Aが鈍角の時は a は
その斜辺よりは長くなり
どれだけ長くなるかを示しているのが 2bc cos A！
（鈍角の時 cos A はマイナスになるから - cos A はプラスになるね）

角A が分かっているから，a² = の式を使うよ

A. のやり方だと cos C が分からないから行き詰ってしまう

B. のやり方だとこの問題では，sin A = 1 / √6 となって行き詰ってしまう

C. だと

b² = c² + a² - 2ca cos B
より
c² - 2c - 2 = 0
となるから，解の公式を使って
c = 1 ±√3
c > 0 より（ c は辺の長さだからマイナスになることはない）
c = 1 + √3

C を求めよとあるので
c² = a² + b² - 2ab cos C
を変形して
cos C = ( a² + b² - c² ) / 2ab
に代入して・・・

2辺とその間の角が分かっているから余弦定理を使う
（正弦定理を使おうとしても A, B, c が分からないから式を作れない）
しかも C が分かっているから c² = の式を使う
c² = 6 より c > 0 だから c = √6

a² = の余弦定理を頭の中で変形して cos A = の式を作り，全て代入して
A = 45°
だから B = 180° - 45° - 75° = 75°

答え：
C=45°の時，A=105°，a=√3+1
C=135°の時，A=15°，a=√3-1

ちなみに
B. で a が求まった後 a² = の余弦定理を使うと cos A が分からないので行き詰ってしまう→そこで c² = の式を使うんだよ

また
A. で使ったことを覚えておくと将来使えるよ（それは次の問題で）

図より角Bも角Cも鋭角なら，BC つまり a は
a = c cos B + b cos C

図より角Cが鈍角なら，BC つまり a は
a = BH-CH
= c cos B - b cos ( 180° - C )
= c cos B - ( - b cos C )
= c cos B + b cos C

だから
a = c cos B + b cos C
は鈍角でも鋭角でも成り立つ！

正弦定理より
a:b:c=sin A:sin B:sin C だから
a:b:c=7:5:3
この時，正の数kを用いて
a=7k, b=5k, c=3
と表すことができる
aが最大辺だから，Aが最大角である
余弦定理より
cos A = {(5k)²+(3k)²-(7k)²}/(2×5k×3k)=- 1/2
よって，最大角は A=120°

★ここで，a=7, b=5, c=3 とするのは結果は同じでも間違い！（比と長さは別のものだから）

⭐a : b : c = 7 : 5 : 3 である△ABCは，三角形の大きさに関係なく，常に A=120° となる！

a sin A sin C + b sin B sin C = c ( sin² A + sin² B ) で

（左辺）
= a × a/2R × c/2R + b × b/2R × c/2R
= c(a²+b²)/4R²

また（右辺）
= c { (a/2R)² + ( b/2R)² }
= c { (a²+b²)/4R² }
= c(a²+b²)/4R²

だから与式は成り立つ

a ( b cos C - c cos B ) = b² - c² で

（左辺）
= a { b × (a²+b²-c²)/2ab - c × (c²+a²-b²)/2ca }
= { (a²+b²-c²) - (c²+a²-b²) } / 2
= (2b²-2c²)/2
= b²-c² =（右辺）