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thubnail
12
高校 数Ⅰ 09. 図形と計量(3)正弦定理と余弦定理⭐
まなぶてらす じょん先生
Road Running
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problème ajouté (15)

problème 1
BOEUF

中学校で習った三角形の合同条件は以下である。 (1)3辺がそれぞれ等しい (2)2辺とその間の角がそれぞれ等しい (3)1辺とその両端の角がそれぞれ等しい これらと三角比の問題を関連付けて考えると覚えやすいよ

O
problème 2
sélectionné

【正弦定理】⭐ a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R はどんな時に使うか。(答えは一つとは限らない) 三角形の「向かい合っている辺と角」に注目!

A. 当然【外接円の半径】といえば正弦定理
B. 例えば a / sin A = b / sin B だから 三角形の【1辺と2角】が分かる時,他の1辺が求まる
C. 例えば a / sin A = b / sin B だから 三角形の【2辺と1角】が分かる時,他の1角が求まる
D. 例えば a / sin A = 2R より,sin A = a / 2R だから(2Rは出てきてしまうが)【角度をやめて辺だけの式にすることができる】
indice (text)
B. は三角形の合同条件「1辺とその両端の角がそれぞれ等しい」と似ているね
でも両端の角である必要はない
なぜ?
2角が分かっていれば(180°から引いて)残りの角も求まるから
結局は両端の角も分かるんだね


C. は三角形の合同条件「2辺とその間の角がそれぞれ等しい」と似ているね
でもその間の角である必要はない
ただし,0°≦θ≦180° では sin は 2つ角度が出てくることに注意してね
problème 3
réponse courte

△ABCにおいて,b=√6,A=45°,B=60°の時,a を求めよ。

2
a = 2
indice (text)
a / sin A = b / sin B に代入して・・・
problème 4
sélectionné

【余弦定理】⭐ a² = b² + c² - 2bc cos A b² = c² + a² - 2ca cos B c² = a² + b² - 2ab cos C はどんな時に使うか。(答えは一つとは限らない)

A. 例えば a² = b² + c² - 2bc cos A だから 三角形の【2辺とその間の角】が分かる時,他の1辺が求まる
B. 例えば a² = b² + c² - 2bc cos A より,cos A = ( b² + c² - a² ) / 2bc だから三角形の【3辺】が分かる時,他の1角が求まる!実際,どの角でも求められる
C. 例えば a² = b² + c² - 2bc cos A より,cos A = ( b² + c² - a² ) / 2bc だから(一見複雑になったように見えるが)【角度をやめて辺だけの式にすることができる】
indice (text)
この公式の図形的意味が重要!
【直角三角形がそうでなくなった時,斜辺がどの程度伸び縮みするかを示している!】

A が 90° になって直角三角形になったら?
a² = b² + c²
という三平方の定理になるね

だから
Aが鋭角の時は a は
その斜辺よりは短くなり
どれだけ短くなるかを示しているのが 2bc cos A!

Aが鈍角の時は a は
その斜辺よりは長くなり
どれだけ長くなるかを示しているのが 2bc cos A!
(鈍角の時 cos A はマイナスになるから - cos A はプラスになるね)
problème 5
réponse courte

△ABCにおいて,b = √3,c = 2,A = 150° の時,a を求めよ。

√13
a=√13
indice (text)
角A が分かっているから,a² = の式を使うよ
problème 6
sélectionné

△ABCにおいて,a = 2,b = √6,B = 60° の時,c を求めよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。【答えはヒントに記載】

A.「 c を求めよ」とあるので余弦定理の c² = の式を使う。
B. a, b, B が分かっているので正弦定理を使って 角A を求め,そこから 角C を求め,余弦定理の c² = の式を使う。
C.「 c を求めよ」とあるが 角B の値が分かっているので余弦定理の b² = の式を使う。
indice (text)
A. のやり方だと cos C が分からないから行き詰ってしまう

B. のやり方だとこの問題では,sin A = 1 / √6 となって行き詰ってしまう

C. だと

b² = c² + a² - 2ca cos B
より
c² - 2c - 2 = 0
となるから,解の公式を使って
c = 1 ±√3
c > 0 より( c は辺の長さだからマイナスになることはない)
c = 1 + √3
problème 7
réponse courte

△ABCにおいて,a = 3,b = 2,c = √7 の時,C を求めよ。

60
60°
60度
indice (text)
C を求めよとあるので
c² = a² + b² - 2ab cos C
を変形して
cos C = ( a² + b² - c² ) / 2ab
に代入して・・・
problème 8
sélectionné

△ABCにおいて,a = 2,b = √3 + 1,C = 60° の時,残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。

c = √6,A = 45°と135°,B = 75°
c = √6,A = 45°,B = 75°
indice (text)
2辺とその間の角が分かっているから余弦定理を使う
(正弦定理を使おうとしても A, B, c が分からないから式を作れない)
しかも C が分かっているから c² = の式を使う
c² = 6 より c > 0 だから c = √6

a² = の余弦定理を頭の中で変形して cos A = の式を作り,全て代入して
A = 45°
だから B = 180° - 45° - 75° = 75°
problème 9
sélectionné

△ABCにおいて,b = √2,B = 30°,c = 2 の時,A,C,a を求めよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。(答えは一つとは限らない)【答えはヒントに記載】

A. 2辺と1角が分かっているから,正弦定理を使って C を求める→C には 2通りの答えがあるので,それぞれの場合に分けて A を求める→余弦定理を使おうとしても cos A が分からない→しかし,図をかいてみると(AからBCへおろした垂線の足をHとすると)a=BH+CHやa=BH-CHとなることが分かるから求められる
B. 角Bが分かっているから,余弦定理 b² = の式を使うと a についての2次方程式ができ,それを解くと a が求まる→a には 2通りの答えがあるので,それぞれの場合に分けて c² = の余弦定理から C を求める→Aも求まる
indice (text)
答え:
C=45°の時,A=105°,a=√3+1
C=135°の時,A=15°,a=√3-1

ちなみに
B. で a が求まった後 a² = の余弦定理を使うと cos A が分からないので行き詰ってしまう→そこで c² = の式を使うんだよ

また
A. で使ったことを覚えておくと将来使えるよ(それは次の問題で)
problème 10
BOEUF

【余弦定理の別の表現】⭐ a = c cos B + b cos C b = a cos C + c cos A c = b cos A + a cos B

O
indice (text)
図より角Bも角Cも鋭角なら,BC つまり a は
a = c cos B + b cos C

図より角Cが鈍角なら,BC つまり a は
a = BH-CH
= c cos B - b cos ( 180° - C )
= c cos B - ( - b cos C )
= c cos B + b cos C

だから
a = c cos B + b cos C
は鈍角でも鋭角でも成り立つ!
problème 11
BOEUF

【正弦定理の別の表現】⭐ a : b : c = sin A : sin B : sin C a/sin A=b/sin B=c / sin C=2R より a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C だから a : b : c =2Rsin A : 2Rsin B : 2Rsin C = sin A : sin B : sin C

O
problème 12
BOEUF

【三角形の辺と角】 角度・辺・sin の大小順は同じ,cos だけ逆順…⭐ ( 角度が大きくなると sin は増えて,cos は減るから) ● 正弦定理より a : b : c = sin A : sin B : sin C ● 対応する辺と角の大小は一致する(最大辺⇔最大角) ● A < B < C ⇔ sin A < sin B < sin C,cos A > cos B > cos C

O
problème 13
sélectionné

△ABCにおいて,次の等式が成り立つ時,この三角形の最大の角を求めよ。 sin A : sin B : sin C = 7 : 5 : 3 30° を選ぶなんてありえないよ 最大角が30° はないでしょう!

30°
90°
120°
150°
indice (text)
正弦定理より
a:b:c=sin A:sin B:sin C だから
a:b:c=7:5:3
この時,正の数kを用いて
a=7k, b=5k, c=3
と表すことができる
aが最大辺だから,Aが最大角である
余弦定理より
cos A = {(5k)²+(3k)²-(7k)²}/(2×5k×3k)=- 1/2
よって,最大角は A=120°

★ここで,a=7, b=5, c=3 とするのは結果は同じでも間違い!(比と長さは別のものだから)

⭐a : b : c = 7 : 5 : 3 である△ABCは,三角形の大きさに関係なく,常に A=120° となる!
problème 14
sélectionné

△ABCにおいて,次の等式が成り立つことを証明せよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。【答えはヒントに記載】 a sin A sin C + b sin B sin C = c ( sin² A + sin² B )

やり方が思い浮かばない
ここで,正弦定理の出番だ! a / sin A = 2R より sin A = a / 2R だから同様に sin B, sin C も表せて,左辺を整理し,右辺も整理したらどちらも同じ式になるはず
indice (text)
a sin A sin C + b sin B sin C = c ( sin² A + sin² B ) で

(左辺)
= a × a/2R × c/2R + b × b/2R × c/2R
= c(a²+b²)/4R²

また(右辺)
= c { (a/2R)² + ( b/2R)² }
= c { (a²+b²)/4R² }
= c(a²+b²)/4R²

だから与式は成り立つ
problème 15
sélectionné

△ABCにおいて,次の等式が成り立つことを証明せよ。という問題を解く際のお勧めのやり方は。【答えはヒントに記載】 a ( b cos C - c cos B ) = b² - c²

やり方が思い浮かばない
ここは余弦定理の出番だ! cos C=(a²+b²-c²)/2ab,同様に cos B を左辺に代入して整理すれば右辺になるはず
indice (text)
a ( b cos C - c cos B ) = b² - c² で

(左辺)
= a { b × (a²+b²-c²)/2ab - c × (c²+a²-b²)/2ca }
= { (a²+b²-c²) - (c²+a²-b²) } / 2
= (2b²-2c²)/2
= b²-c² =(右辺)
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