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Mataas na Paaralan 2
matematika
数II 05. 複素数と方程式（2）解と係数の関係⭐
まなぶてらす じょん先生
1
0
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problema 2
OX
【解と係数の関係】⭐
2次方程式 ax²+bx+c=0 の解を α, β とする時
D=b²-4ac とすると
和 α+β
= (-b+√D)/2a + (-b-√D)/2a
= -2b/2a
= -b/a
積 αβ
= (-b+√D)/2a × (-b-√D)/2a
= {(-b)²-D}/(4a²)
= 4ac/4a²
= c/a
またこれは，α=β，つまり，重解の時も成り立つ
problema 3
pumili
2次方程式 2x²+x-6=0 の 2つの解を α, β とする時，次の値を 5秒で答えよ。
（1）α+β
（2）αβ
- （1）α+β=1/2，（2）αβ=-3
- （1）α+β=-1/2，（2）αβ=-3
- （1）α+β=-1/2，（2）αβ=3
problema 4
OX
2次方程式 x²-3x+4=0 の 2つの解を α, β とする時，次の値を答えよ。
（1）α²+β²
（2）α³+β³
（3）β/α + α/β
（4）(α-β)²
答え
（1）α²+β²=1
（2）α³+β³=-9
（3）β/α + α/β=1/4
（4）(α-β)²=-7
Senyales
まずは，解と係数の関係から，α+β=3，αβ=4 （1）α²+β²=(α+β)²-2αβ=3²-2･4=1 （2）α³+β³=(α+β)³-3αβ(α+β)=3³-3･4･3=-9 （3）β/α + α/β= (β² + α²) / αβ =1/4【α²+β² は（1）の結果を使えばいい】 （4）(α-β)²=α²-2αβ+β²=1-2･4=-7
problema 5
OX
2次方程式 x²-12x+m=0 において，1つの解が他の解の 2倍である時，定数 m の値と 2つの解を求めよ。
答え
m=32
2つの解は 4, 8
Senyales
2つの解は α，2α と表すことができる 解と係数の関係から α+2α=12 より 3α=12 だから α=4 α･2α=m より m=2α²=2･4²=32 1つの解が 4 だから，他の解はその 2倍の 8
problema 6
OX
2次方程式 x²-12x+m=0 において，1つの解が他の解の 2乗である時，定数 m の値と 2つの解を求めよ。
答え
m=-64，その時，2つの解は -4 と 16
また
m=27，その時，2つの解は 3 と 9
Senyales
2つの解は α，α² と表すことができる 解と係数の関係から α+α²=12 より α²+α-12=(α+4)(α-3)=0 だから α=-4, 3 α･α²=m より m=α･α² だから α=-4の時，m=(-4)³=-64（ちなみにその時，2次方程式は x²-12x-64=0）しかし，それを解く必要はなく，1つの解は -4 と分かっているから，その 2乗の 16 が答えである α=3の時，m=3³=27（ちなみにその時，2次方程式は x²-12x+27=0）しかし，それを解く必要はなく，1つの解は 3 と分かっているから，その 2乗の 9 が答えである
problema 7
OX
【2次式の因数分解】⭐（ヒントも見てね）
係数が全て実数である 2次式がある。
その時，イコール 0 とおいて2次方程式の解を求めれば，その 2次式は複素数の範囲で必ず 1次式の積に因数分解できる。
これは正しいか？
Senyales
つまり，ax²+bx+c という 2次式がある時， ax²+bx+c=0 とおいた 2次方程式の解を α, β とすると ax²+bx+c=a(x-α)(x-β) と表せる！ なぜか？ ax²+bx+c → ここで，a で強引にくくると =a(x² + b/a x + c/a) → ここで，解と係数の関係より b/a= -(α+β), c/a=αβ だから =a{x²-(α+β)x+αβ} → これは因数分解できるから =a(x-α)(x-β) a を忘れないように！
problema 8
OX
次の 2次方程式を，複素数の範囲で因数分解せよ。
2x²-2x-1
答え
2x²-2x-1=0 とおくと
x=(1±√3)/2
よって
2x²-2x-1
=2{x-(1+√3)/2}{x-(1-√3)/2}
problema 9
pumili
x⁴-64 を有理数の範囲で因数分解せよ。
- A. (x²+8)(x²-8)
- B. (x²+8)(x+2√2)(x-2√2)
- C. (x+2√2i)(x-2√2i)(x+2√2)(x-2√2)
Senyales
有理数の範囲なので A. までしか因数分解はできない
problema 10
pumili
x⁴-64 を実数の範囲で因数分解せよ。
- A. (x²+8)(x²-8)
- B. (x²+8)(x+2√2)(x-2√2)
- C. (x+2√2i)(x-2√2i)(x+2√2)(x-2√2)
Senyales
実数の範囲なので，A. はまだ因数分解できる！ A. の式の x²-8 で =0 とおくと，x=±2√2 だから x²-8=(x+2√2)(x-2√2) となって・・・
problema 11
pumili
x⁴-64 を複素数の範囲で因数分解せよ。
- A. (x²+8)(x²-8)
- B. (x²+8)(x+2√2)(x-2√2)
- C. (x+2√2i)(x-2√2i)(x+2√2)(x-2√2)
Senyales
複素数の範囲なので B. はまだ因数分解できる！ B. の式の x²+8 で =0 とおくと，x=±2√2i だから x²+8=(x+2√2i)(x-2√2i) となって・・・
problema 12
OX
【2次方程式の作成】⭐（ヒントも見てね）
●と■を解とする 2次方程式はいくつも作れるが，そのうちの 1つは
x²-(●+■)x+●･■=0
Senyales
2数 α, β を解とする 2次方程式は a(x-α)(x-β)=0 ただし a≠0 だから，特に a=1 として左辺を展開すると 2数 α, β を解とする 2次方程式の 1つは x²-(α+β)x+αβ=0 別の言い方をすると x²-(解の和)x+(解の積)=0
problema 13
maikling sagot
2数 3+i，3-i を解とする 2次方程式を 1つ作れ。
x²-6x+10=0
x^2-6x+10=0
Senyales
解の和は (3+i)+(3-i)=6 解の積は (3+i)(3-i)=9-i²=10 よって，2数 3+i, 3-i を解とする 2次方程式の 1つは x²-6x+10=0 もちろん， 2x²-12x+20=0 や 1/2 x²-3x+5=0 も同じ解である！
problema 14
OX
和が 2，積が 3であるような 2数を求めよ。
答え
求める 2数は，次の 2次方程式の解である。
x²-2x+3=0
これを解くと，x=1±√2i
だから，求める 2数は，1+√2i と 1-√2i
実際にその和と積を求めてみると
和は 2
積は 1-2i²=1+2=3 になるね
problema 15
maikling sagot
2次方程式 x²+2x+4=0 の 2つの解を α, β とする時，
2数 α-1, β-1 を解とする 2次方程式を 1つ作れ。
x²+4x+7=0
x^2+4x+7=0
Senyales
与えられている 2次方程式の解と係数の関係から α+β=-2 αβ=4 ここで，(α-1) と (β-1) の和と積を求めると (α-1)+(β-1)=α+β-2=-4 (α-1)(β-1)=αβ-(α+β)+1=4-(-2)+1=7 よって 求める 2次方程式の 1つは x²+4x+7=0
problema 16
pumili
【2次方程式の実数解の符号】⭐（ヒントも見てね）
2つの実数 α, β について，次のことが成り立つ
● αもβも正 ⇔ αとβの和も正 かつ 積も正
● αもβも負 ⇔ αとβの和は負 かつ 積は正
● αもβも異符号 ⇔ αとβの積は負（和については何とも言えない）
だから，2次方程式 ax²+bx+c=0 の
2つの解 α, β の符号と判別式D
について，正しいものを 3つ選べ。
- A. α, β は異なる 2つの正の解 ⇔ D>0 で α+β>0 かつ αβ>0
- B. α, β は異なる 2つの負の解 ⇔ D>0 で α+β<0 かつ αβ>0
- C. α, β は符号の異なる解 ⇔ αβ<0
- D. α, β は符号の異なる解 ⇔ D>0 で αβ<0
Senyales
D. はなぜ間違いか？ 厳密には間違いではないが，なぜ D>0 は不要か。 解と係数の関係から，αβ=c/a なので，αβ<0 ならば a と c は異符号である。よって，ac<0 である。 だから，αβ<0 ならば D=b²-4ac>0 が必ず成り立つ！ 逆に A. と B. では D>0 は絶対に必要！なぜか？ それがないと，虚数解のこともあるから！
problema 17
pumili
2次方程式 x²-2mx-m+6=0 が，異なる 2つの正の解をもつ時，定数 m の値の範囲を求めよ。
この問題を解く時に必要な式を選べ。ただし，判別式を D/4，2つの解をα, β とする。（答えは一つとは限らない）
- A. D/4 > 0
- B. α+β > 0
- C. αβ > 0
Senyales
A. D/4 =(-m)²-1(-m+6) =m²+m-6 >0 より (m+3)(m-2)>0 となるのは m<-3, 2<m …① α+β=2m >0 より m>0 …② αβ=-m+6>0 より m<6 …③ ①②③の共通範囲は 2<m<6
problema 18
OX
次の A. B. は本質的には同じ問題になる。正しいか。
A. 2次方程式 x²-2mx-m+6=0 が，異なる 2つの正の解をもつ時，定数 m の値の範囲を求めよ。
B. 2次関数 y=x²-2mx-m+6 のグラフが x 軸の正の部分の異なる 2点で交わる時，定数 m の範囲を求めよ。
Senyales
B. について言うと y = f(x) とおいて平方完成すると f(x) = (x-m)²-m²-m+6 だから頂点の座標は ( m, -m² - m + 6 ) となるから 1. 共有点が 2個，つまり判別式 D>0 より m<-3, 2<m …① 2. 軸または頂点が y 軸より右側，つまり m>0 …② 3. グラフと y 軸との交点の y 座標が正，つまり f(0)>0 より m<6 …③ ①②③ すべての共通範囲は 2<m<6 だね
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