미적분학의 기본 정리에 따르면, 함수 f(x)의 부정적분을 F(x)라고 할 때, 특정 구간 [a, b]에서의 정적분 값은 F(b) - F(a)로 계산됩니다. 이 정리가 미적분학에서 가지는 가장 중요한 의미는 무엇인가요?

• 미적분과 적분의 관계 규명

유클리드 기하학에서 '평행선 공준'은 두 직선이 한 직선과 만날 때, 같은 쪽에 있는 내각의 합이 180도이면 두 직선은 만나지 않는다는 내용입니다. 이 공준을 부정하거나 수정함으로써 새로운 기하학 체계가 탄생했는데, 이를 비유클리드 기하학이라고 합니다. 다음 중 비유클리드 기하학의 예시로 옳지 않은 것은 무엇인가요?

• 쌍곡기하학
• 타원기하학
• 구면기하학
• 데카르트 기하학

페르마의 마지막 정리는 "n이 3 이상인 자연수일 때, x^n + y^n = z^n 을 만족하는 양의 정수 x, y, z는 존재하지 않는다"는 명제입니다. 이 정리가 증명되기까지 약 350년이 걸렸으며, 증명 과정에서 현대 정수론의 많은 부분이 발전했습니다. 이 정리는 어떤 수학 분야의 난제였나요?

• 정수론

골드바흐의 추측은 "2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 명제입니다. 이 추측은 아직까지 증명되지 않은 유명한 미해결 문제입니다. 다음 중 골드바흐의 추측을 만족하는 짝수의 예시로 옳은 것은 무엇인가요?

• 10 = 3 + 7
• 12 = 5 + 7
• 14 = 3 + 11
• 16 = 5 + 11

리만 가설은 소수의 분포에 대한 심오한 질문을 다루는 문제입니다. 이 가설이 참으로 증명된다면, 소수 정리의 오차항에 대한 매우 정확한 추정이 가능해진다고 알려져 있습니다. 리만 가설은 복소수 함수의 '리만 제타 함수'의 근(zero)에 관한 것입니다. 리만 제타 함수의 비자명근(non-trivial zeros)은 모두 실수부가 1/2이라는 것이 리만 가설의 핵심 내용입니다.

P-NP 문제란 계산 복잡도 이론에서 중요한 문제로, 어떤 문제를 풀기 위한 시간이 다항 시간 안에 해결 가능한지(P), 아니면 그 해답을 검증하는 시간이 다항 시간 안에 해결 가능한지(NP)를 묻는 문제입니다. 만약 P=NP라면, 현재 풀기 어렵다고 여겨지는 많은 문제들이 효율적으로 해결될 수 있을 것으로 예상됩니다. 다음 중 P-NP 문제와 관련된 주요 개념이 아닌 것은 무엇인가요?

• 다항 시간
• NP-완전
• 해싱
• 탐욕 알고리즘

나비에-스토크스 방정식은 유체(액체나 기체)의 운동을 기술하는 비선형 편미분 방정식입니다. 이 방정식은 기상 예측, 항공기 설계 등 다양한 분야에 응용됩니다. 나비에-스토크스 방정식의 해가 항상 존재하고 매끄러운지(즉, 특이점이 없는지)를 증명하는 것은 클레이 수학 연구소에서 현상금까지 걸린 7대 수학 난제 중 하나입니다. 이 난제의 이름은 무엇인가요?

• 나비에-스토크스 존재성과 매끄러움

호지 추측은 대수기하학 분야의 난제로, 매끄러운 사영 다양체(projective variety) 위의 호지 순환(Hodge cycles)이 유리수 계수를 갖는 대수적 순환(algebraic cycles)으로 표현될 수 있다는 추측입니다. 이 추측은 대수기하학과 미분기하학을 연결하는 중요한 다리 역할을 합니다. 호지 추측은 어떤 수학 분야와 깊은 관련이 있나요?

• 확률론
• 군론
• 대수기하학
• 조합론

양-밀스 질량 간극 가설은 양자 색역학(QCD)에서 기본 입자인 쿼크와 글루온이 질량을 가지지 않음에도 불구하고, 강입자(양성자, 중성자 등)가 질량을 가지는 이유를 설명하려는 가설입니다. 이 가설은 입자물리학의 표준 모형을 이해하는 데 매우 중요합니다. 양-밀스 질량 간극 가설은 어떤 물리학 이론과 관련이 깊은가요?

• 양자 색역학

푸앵카레 추측은 3차원 공간의 위상학적 성질에 관한 문제입니다. 이 추측은 "단일 연결된 콤팩트 3차원 다양체는 3차원 구면과 위상동형이다"라는 내용입니다. 이 추측은 2002년 러시아 수학자 그리고리 페렐만에 의해 증명되었습니다. 푸앵카레 추측은 어떤 수학 분야의 문제였나요?

콜라츠 추측(3n+1 문제)은 "어떤 양의 정수 n에 대해, n이 짝수이면 2로 나누고, 홀수이면 3을 곱하고 1을 더하는 연산을 반복하면 결국 1에 도달한다"는 추측입니다. 이 추측은 매우 간단한 규칙을 가지고 있지만, 아직까지 모든 양의 정수에 대해 증명되지 않았습니다. 다음 중 콜라츠 추측을 만족하는 예시로 옳은 것은 무엇인가요?

• 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
• 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
• 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
• 9 → 28 → 14 → 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

베르흐-스위너턴-다이어 추측은 타원 곡선과 관련된 수론의 중요한 미해결 문제입니다. 이 추측은 타원 곡선의 유리수 점들의 구조를 이해하는 데 핵심적인 역할을 합니다. 이 추측은 어떤 수학적 대상의 '랭크(rank)'를 결정하는 것과 관련이 있나요?

• 타원 곡선

만델브로 집합은 프랙탈 기하학의 대표적인 예시입니다. 이 집합은 복소평면에서 특정 이차 함수의 반복적인 연산을 통해 생성되며, 자기 유사성을 가지는 복잡하고 아름다운 구조를 보여줍니다. 만델브로 집합은 복소수에서의 어떤 함수에 의해 정의되나요?

• z^2 + c

이항 정리는 (a+b)^n 을 전개하는 공식입니다. 이 공식은 조합론과 확률론 등 다양한 분야에서 활용됩니다. 이항 정리를 이용하면 (a+b)^3 을 전개할 때, a^2 b^1 항의 계수는 3이 됩니다. 이항 정리는 어떤 수학적 개념과 밀접하게 관련되어 있나요?

• 미분
• 적분
• 조합
• 행렬

정다면체는 모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에 모이는 면의 개수가 같은 입체 도형입니다. 정다면체는 총 5가지 종류(정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체)만 존재한다는 것이 증명되었습니다. 이 사실은 고대 그리스 수학자 유클리드의 '원론'에도 등장하는 기본적인 기하학적 결과입니다.