# 1True/False
【三角形の面積】⭐
S = 1/2 bc sin A = 1/2 ca sin B = 1/2 ab sin C
【2辺とその間の角が分かれば面積が求められる！】
数Ⅰ 10. 図形と計量（4）三角形，空間図形への応用⭐
じゅんじ or じょん先生
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Mathematics
数Ⅰ 10. 図形と計量（4）三角形，空間図形への応用⭐
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# 2Short Answer
a = 3, b = 4, C = 120° である△ABCの面積 S を求めよ。
3√3
Hint
S = 1/2 ab sin A に代入して
S = 1/2 × 3 × 4 × sin 120°
= 1/2 × 3 × 4 ×√3/2
= 3√3
# 3True/False
【三角形の面積】⭐
【3辺の長さが分かれば面積が求められる！】ヒントも
● 次の2つを思いだせ
◎ S = 1/2 bc sin A だから面積は sin A が分かれば求まる
◎ 3辺が分かっているから余弦定理より cos が求まる
余弦定理よりcos A を求め
sin² θ + cos² θ = 1 より sin A を求めたら
S = 1/2 bc sin A から面積が求められる！
Hint
● ヘロンの公式も思いだせ
s = ( a + b + c ) / 2【3辺足して2で割る】
S = √{s(s-a)(s-b)(s-c)}【次の4つの数字を掛ける（その答えとそれぞれの辺との差を3つとその答えそのもの）→その平方根が面積！】
# 4Multiple Choice
△ABCにおいて，a = 7, b = 8, c = 9 の時，cos A の値はいくらか。
2 / 3
3 / 2
Hint
余弦定理 a² = b² + c² - 2bc cos A より
cos A = ( b² + c² - a² ) / 2bc に代入して・・・
# 5Multiple Choice
△ABCにおいて，a = 7, b = 8, c = 9 の時，cos A の値を前の問題で求めて 2/3 であった。では sin A はいくらか。
- √5/3
√5/3
Hint
sin A > 0 であるから sin² θ + cos² θ = 1 より
sin A = √( 1 - cos² A)
= √{ 1 - (2/3)²}
= √(5 / 9)
= √5/3
# 6Short Answer
△ABCにおいて，a = 7, b = 8, c = 9 の時，cos A = 2/3, sin A = √5/3 であることを先ほど求めた。では △ABCの面積 S はいくらか。
12√5
Hint
S = 1/2 bc sin A に代入して・・・
# 7Multiple Choice
円に内接する四角形ABCDにおいて，AB=3, BC=2, CD=2, ∠B=60° の時，ACの長さを求めよ。
√7
- √7
Hint
△ABCに余弦定理を使うと
AC² = 3² + 2² - 2×3×2×cos 60° = 7
AC > 0 だから AC = √7
# 8Multiple Choice
円に内接する四角形ABCDにおいて，ACの長さを前の問題で求めて √7 であった。ではADの長さはいくらか。
-3, 1
1
Hint
内接四角形の対角の和は180° だから
D = 120° である。
AD = x として△ACD に余弦定理を適用すると
x² + 2x - 3 = 0
これを解くと
x = -3, 1
x > 0 だから x = 1
つまり，AD = 1
# 9Multiple Choice
円に内接する四角形ABCDにおいて，ACの長さが √7，ADの長さが 1 であることを先ほど求めた。では四角形ABCDの面積はいくらか。
3√3/2
√3
2√3
Hint
求める面積を S とすると
S = △ABC + △ACD
=1/2 × 3 × 2 sin 60° + 1/2 × 1 × 2 sin 120°
= 2√3
# 10True/False
【三角形の内接円の半径と面積】⭐
△ABCの内接円の半径を r とすると
S = 1/2 r ( a + b + c )
小学生でもわかる公式だね
でも，逆に【面積が分かれば内接円の半径が求められる】も重要！
【3辺の長さが分かれば面積が求められる！】から
● 余弦定理よりcos A→sin A→S=1/2 bc sinA
か
● ヘロンの公式
を使って S を出し r を求める
# 11Short Answer
△ABCにおいて，a = 5, b = 6, c = 7 の時，cos A の値を求めよ。
5/7
# 12Multiple Choice
△ABCにおいて，a = 5, b = 6, c = 7 の時，cos A の値を前の問題で求めて 5/7 であった。では sin A の値はいくらか。
- 2√6/7
2√6/7
# 13Multiple Choice
△ABCにおいて，a = 5, b = 6, c = 7 の時，cos A の値は 5/7， sin A の値は 2√6/7 であることを求めた。では△ABCの面積はいくらか。
6√6
12√6
Hint
S = 1/2 bc sin A に代入して・・・
しかし，ヘロンの公式を知っていれば
(a + b + c ) / 2 = s
とおいて
S = √{ s ( s - a )( s - b )( s - c)}
= √( 9 × 4 × 3 × 2 )
= √( 3² × 2² × 3 × 2)
= 3 × 2 × √( 3 × 2 )
= 6√6
# 14Multiple Choice
△ABCにおいて，a = 5, b = 6, c = 7 の時，cos A の値は 5/7， sin A の値は 2√6/7， △ABCの面積は 6√6 であることを求めた。では内接円の半径はいくらか。
2√6/3
4√6/3
Hint
S = 1/2 r ( a + b + c ) に代入して・・・
# 15True/False
図の直方体 ABCD-EFGH の頂点 A, F, C を結んでできる △AFC の面積 S はいくらか。
三平方の定理より3辺の長さを求めれば
【3辺の長さが分かれば面積が求められる！】
● 余弦定理よりcos A→sin A→S=1/2 bc sinA
か
● ヘロンの公式
を使って S を求める
# 16Multiple Choice
1辺の長さが a の正四面体 ABCD がある。
頂点 A から △BCD に垂線 AH を下ろした時，点 H は △BCD の何にあたるか。（答えは一つとは限らない）
△BCD の重心（中線の交点）
△BCD の垂心（垂線の交点）
△BCD の外心（外接円の中心）
△BCD の内心（内接円の中心）
Hint
はい。もちろん全て正解です！
正四面体は全ての辺の長さが等しく，全ての面が正三角形だから，対称性が非常に高いんだね
# 17True/False
1辺の長さが a の正四面体 ABCD がある。
頂点 A から △BCD に垂線 AH を下ろした時，点 H が △BCD の 外心（外接円の中心）であるのはなぜか。
BH=CH=DHであり，B,C,Dを通る円が描けるから。
その理由は△AHB≡△AHC≡△AHDだから。
その理由はAHが共通で斜辺が等しいので，直角三角形の斜辺と他一辺がそれぞれ等しいから。
# 18Short Answer
1辺の長さが a の正四面体 ABCD がある。
頂点 A から △BCD に垂線 AH を下ろした時，AH の長さを求めよ。
√6/3 a
√6a / 3
√2a / √3
√2/√3 a
Hint
H は外心（外接円の中心）だから，BH は外接円の半径 であり，それを R とすると
△BCD に正弦定理を適用して a / sin 60° = 2R
よって
R = a/√3
△ABH に三平方の定理を適用して
AH²=√(AB²-BH²)=√6/3 a
# 19True/False
1辺の長さが a の正四面体 ABCD がある。その体積は？
ただし，頂点 A から △BCD に下ろした垂線 AH は √6a / 3 であることは前の問題で求めている。
底面積は S = 1/2 ab sin A = 1/2 × a × a sin 60° = √3a² / 4 だから
体積 V = 1/3 Sh = 1/3 × √3a² / 4 × √6a / 3 = √2 a³ / 12
# 20Multiple Choice
1辺の長さが a の正四面体 ABCD がある。その高さ √6a / 3 の求め方は？
ただし，DHの延長とBCの交点を I とする。（答えは一つとは限らない）
A. 点Hを外心と考えると：△BCDに正弦定理を適用して a/sin 60°=2R より R つまり BH を求める → △ABH に三平方の定理を適用して AH²=√(AB²-R²)
B. 点Hを内心と考えると：△BCDの面積を2通りで表す（S=1/2 r(a+b+c) と S=底辺×高さ÷2 か S=1/2 bc sin 60° → r つまり HI が求まる → △AIH に三平方の定理を適用して AH² = √(AI² - HI²)
C. 点Hを重心と考えると：重心は中線を2:1に内分するから HI = 1/3 DI → △AIH に三平方の定理を適用して AH²=√(AI²-HI²)
Hint
3つのやり方全部で求めよう！解答の“引き出し”が増え計算力もつくよ
R=a/√3→有理化して√3a/3
r=√3a/6
になった？
また
AI は△ABIで 1:2:√3 から すぐに √3a / 2 と求まるね
さらに DI=AI だね
通常はここからさらに，体積を求めよ，と続くから結局は底面積を求めるよ
一応答えは
S=√3a² / 4
V=√2a³ / 12
正三角形では重心・内心・外心が一致するから（垂心も）
◎DHの中点をJとすると，DJ=JH=HI
◎HIが内接円の半径，DHが外接円の半径，内接円はJを通る
◎r+R=高さ，2r=R
この結果を知っておいて損はないよ
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